Определение 6. Произведением вектора на вещественное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и сонаправленный с вектором , если , и противонаправленный с вектором , если . Произведением вектора на число обозначается или .
На рис. 6 – рис. 9 показаны пары векторы и , и , и , и
Рис. 3. Случай
Рис. 4. Случай
Рис. 5. Случай
Рис. 6. Случай
Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на число :
.
Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.
1. – закон коммутативности.
2. – закон ассоциативности.
3. – закон дистрибутивности.
4. – закон дистрибутивности.
Теорема 1. Для коллинеарности векторов и , необходимо и достаточно существование числа такого, что выполняется хотя бы одно из равенств или .
Сумма векторов
Определение 7. Суммой векторов и называется вектор , вычисляемый как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, имеющая с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов и обозначается .
|
|
Рис. 10
Отметим некоторые свойства суммы векторов.
1. – закон коммутативности.
2. – закон ассоциативности.
3. .
4. .
Разность векторов
Определение 8. Разностью векторов и называется вектор, сумма которого с вектором равна вектору . Разность можно определить как сумму вектора с вектором, противоположным к вектору : .
Разность векторов и можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора (рис. 11).
Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора совмещать с концом вектора . Для определения разности , следует концы этих векторов.
Рис. 11
Числовая ось
Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:
1) на ней выбрана некоторая точка, называемая началом (центром) и обозначаемая ;
2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;
3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).
Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:
1) положительное число изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии по направлению стрелки;
2) отрицательное число изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии против направления стрелки;
|
|
3) нулевое число изображается началом оси.
Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.
Пусть точке числовой оси соответствует число . Координатой точки называется число и обозначается .
Единичный вектор
Определение 9. Любой вектор, длина которой равна единице, называется единичным вектором.
Пусть задан вектор . Обозначим через единичный вектор, сонаправленный с вектором , называемый орт ом этого вектора. Из определения умножения вектора на число следует, что
или .
Для каждой числовой оси определен единичный вектор , с началом в точке ( – центр числовой оси) и концом в точке с координатой (рис. 12). Направление единичного вектора совпадает с положительным направлением числовой оси .
Рис. 12
Угол между векторами
Определение 10. Пусть векторы и имеют общее начало. Углом между векторами и называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из этих векторов до совпадения с другим (рис. 13). Под термином совпадение понимается, что векторы и окажутся сонаправленными. Угол между векторами и обозначают .
Из определения вытекает, что угол между произвольными векторами содержится в промежутке: .
Определение 11. Пусть начало вектора находится в центре числовой оси . Углом между вектором и осью называется угол между вектором и единичным вектором оси (рис. 14).
Рис. 13 Рис. 14