2020-05-11
429
Определение 19. Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющие общее начало 
и совпадающее с точкой пересечения.
Оси, составляющие прямоугольную систему координат в пространстве называются координатными осями и обозначаются 
, 
и 
:
– ось абсцисс;
– ось ординат;
– ось аппликат.
Положение каждой точки 
пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:
1) проекция точки на ось ; обозначают 
;
2) проекция точки на ось ; обозначают 
.
3) проекция точки на ось ; обозначают 
.
Рис. 21
Определение 18. Упорядоченная тройка чисел 
называется прямоугольными (декартовыми) координатами точки пространства 
и обозначается 
.
Каждой точке пространства 
соответствует единственная упорядоченная тройка числе и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка пространства .
Координатные оси 
, и делят пространства на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки:
| Октант | Знаки | Октант | Знаки | ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
|
На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке и концом в точке с координатой 
. Обозначим:
– единичный вектор оси ;
– единичный вектор оси ;
– единичный вектор оси .
Эти три единичных вектора называются ортами. Они образуют декартов ортогональный базис.
Рассмотрим вектор 
в пространстве. Отложим его из начала координат 
(рис. 22). Через его конец проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получим прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является вектор .
Рис. 22
Из рис. 22 ясно, что:
.
Векторы 
, 
и 
являются составляющими вектора 
. Представив составляющие с помощью произведения проекции на единичный вектор, получим
, 
, 
.
Обозначив
, 
, 
,
будем иметь
.
Полученная формула называется разложением вектора на составляющие по координатным осям. Числа 
называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Координаты вектора будем записывать в виде
.
Вектор 
с началом в начале координат и концом в точке 
называется радиус-вектором 
точки 
. Координаты радиус-вектора 
совпадают с координатами точки 
:
или 
.
Пусть 
и 
– произвольные точки пространства. Координаты вектора 
вычисляются по формуле
или
.
Для получения координат вектора из координаты конца нужно вычитать соответствующие координаты начала.
Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими операциями над координатами.
Пусть , 
. Тогда
;
;
.
Если векторы заданы в виде
, 
,
то линейные операции выполняются так:
.
