Практическое занятие №8

1 Наименование работы: Построение для заданной выборки ее графической гистограммы, расчет ее числовых характеристик.

2 Цель работы: отработать навык решения задач по математической статистике.

Формирование ОК 2,3,4, 8; овладение знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 3.4. (спец. 09.02.03.), ПК 1.1, 1.2, 1.4, 2.3. (спец. 09.02.04.).

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: «Математическая статистика».

4 Литература:

4.1 Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2018.

4.2 Приложение к ПЗ №8.

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

1. Дан статистический ряд распределения частот. Составьте ряд распределения относительных частот, найдите медиану, моду вариационного ряда и среднеарифметическое значение. Постройте полигон частот и относительных частот для двух различных вариационных рядов.

	20	30	50	60
	10	15	5	20

	15	20	25	30	35
	10	15	30	20	25

2. Постройте гистограмму частот и относительных частот:

x_i	;7)	;12)	;17)	;22)
m_i	5	10	25	6	4	50

3. Андрей написал 6 программ для 6 одногруппников.1-ая программа содержит 3 ошибки, 2-ая - 8 ошибок, 3-я - 5 ошибок, 4-ая - 3 ошибки, 5-ая - 1 ошибку, 6-ая - 7 ошибок. Составьте ряд распределения частот и относительных частот, найдите медиану, моду вариационного ряда и среднеарифметическое значение. Постройте полигон частот и относительных частот.

4. Возраст работников предприятия в техническом отделе представлен следующим вариационным рядом: 18, 22, 30, 30, 32, 44, 45, 22, 18, 24, 25, 44, 32, 22, 18, 32, 44, 18, 22, 18, 22, 30, 30, 30, 25, 25, 20. Составьте ряд распределения частот и относительных частот, найдите медиану, моду вариационного ряда и среднеарифметическое значение.

5. В магазин телефонов поступили Iphone следующих моделей 4s, 5, se, 6, 6plus, 6s, 6s plus, 7plus, 8 plus, X, 5s, 6plus, 7,5s, 6plus, X, 5s, 5, 4s, se, X, 4s, 5, 5s, 5s, 6plus, 5s, 4s, X, se, X, 4s, 6plus, X,7, se, 8 plus, 4s, X, 6plus, X, 6s plus, 7, 6s plus, 4s, 7, 6s plus, 4s, se, 5, 4s, se, X,, 6s,, 6s, 8 plus, 8 plus, 6s, 6s plus, 7, 8 plus,7, X, 5s, 6plus, 7,5s, 6plus, X, 5s, 5, 4s, se, X, 4s, 5, 5s, 5s, 6plus, 5s, 4s, X, se, X, 4s, 6plus, X,7, se, 8 plus, 4s, X, se, 8 plus, 4s, X, 6plus, X, 6s plus, 7, 6s plus. Составьте интегральный ряд распределения частот и относительных частот.

Контрольные вопросы:

1. Что называется статистическим рядом?

2. Что называется медианой, модой и средним арифметическим значением вариационного ряда?

3. Что называется полигоном частот и относительных частот?

4. Что называется гистограммой частот и относительных частот?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пусть проводится n - независимых испытаний, в результате которых получено n — значений СВ х₁>х₂,..., х_n. Совокупностью этих значений называется выборочной статистической совокупностью. Множество элементов, у которых была произведена выборка, называется генеральной совокупностью, (множество всех молекул кислорода, содержащихся в данной аудитории, множество рыб в водоеме, всё население нашей страны). При этом х называется вариантами совокупности, n — объем совокупности.

Варианты обычно располагаются либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания и записываются по порядку.

i	1	2	…	n
x_i	x₁	x₂	…	x_n

Статистическим рядом называется ряд вариантов, расположенных либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания, с соответствующим или частотами.

Например, дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.

Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.

Разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки называется размахом выборки.

R= x max− x min

Размах представленной выборки составляет 3,8

Медианой вариационного ряда называется то значение случайной величины, которое приходится на средину вариационного ряда (Ме).

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Сосчитаем число членов, их 12 - чётное число членов, значит надо найти среднее арифметическое двух чисел записанных посередине, то есть 6 и 7-ой варианты. (2,1+2,4)\2=2.25 – медиана.

Модой вариационного ряда называют вариант (значение случайной величины), которому соответствует наибольшая частота (Мо), т.е. которая встречается чаще других.

Модой является 1.2, т.к. только это число встречается 3 раза, а остальные встречаются меньше, чем 3 раза.

Среднеарифметическим значением вариационного ряда называется результат деления суммы значений статистической переменной на число этих значений, то есть на число слагаемых.

Правило нахождения среднеарифметического значения выборки:

1. каждую варианту умножить на её частоту (кратность);

2. сложить все полученные произведения;

3. поделить найденную сумму на сумму всех частот.

Среднеарифметическое значение находим так: (1,2*3+1,3+1,8+2,1+2,4*2+3,0+3,2 +4+5)\12=2,4

Составим вариационный ряд:

	1.2	1.3	1.8	2.1	2.4	3	3.2	4	5
	3	1	1	1	2	1	1	1	1
=

Частота показывает сколько раз i-ая варианта встречается в выборочной статистической совокупности.

Относительная частота w_i это отношение i-ой частоты к объему всей совокупности, т.е = . Причем

Для построения интервального ряда необходимо:

1. определить величину частичных интервалов;

2. определить ширину интервалов;

3. установить для каждого интервала его верхнюю и нижнюю границы;

4. сгруппировать результаты наблюдении.

Вопрос о выборе числа и ширины интервалов группировки приходится решать в каждом конкретном случае исходя из целей исследования, объема выборки и степени варьирования признака в выборке.

Обычно предпочтительны интервалы одинаковой ширины. Для определения ширины интервалов h вычисляют:

1) Rразмах = xmax – xmin

Приблизительно число интервалов k можно оценить исходя только из объема выборки n

Нижняя граница первого интервала x₁ выбирается так, чтобы минимальная варианта выборки x_min попадала примерно в середину этого интервала: x_h1 = x_min - 0,5·h.

Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h:

x_hi = x_hi-1 +h.

Построение шкалы интервалов на основе вычисления границ интервалов продолжается до тех пор, пока величина x_hi удовлетворяет соотношению:

x_hi < x_max + 0,5·h.

В соответствии со шкалой интервалов производится группирование значений признака - для каждого частичного интервала вычисляется сумма частот n_i вариант, попавших в i -й интервал. При этом в интервал включают значения случайной величины, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала.

Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:

x_i	x1	x2	x3	…	x_n
m_i	m₁	m₂	m₃	…	m_n
w_i	w₁	w₂	w₃	…	w_n

Полигон частот - ломанная, которая соединяет точки (x_n, m_n). То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной.

Полигон относительных частот - ломанная, которая соединяет точки (x_n, w_n). То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Пример: Пусть распределение имеет вид:

x_i	2	4	6	8
m_i	3	5	7	5
w_i	3/20	5/20	7/20	5/20

Полигон частот

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению m_i / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии m_i / h

Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению W_i / h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i / h (Рис. 2).

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Дан ряд непрерывного распределения частот:

x_i	1-3	3-6	6-9	9-12
m_i	3	5	7	9
w_i	3/24	5/24	7/24	9/24

Построить гистограмму частот

Очевидно, что в данном случае длина частичного интервала h=2. Найдем высоты прямоугольников каждой точки разбиения.
При х=1;

При х=3;

При х=6;

При х=9;

Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.

Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:

x_i	70	71	72	73	74
m_i	2	4	8	2	4

2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n_i/n=w_i: w_i=2/20=0.1; w₂=4/20=0.2; w₃=0.4; w₄=4/20=0.1; w₅=2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот:

x_i	70	71	72	73	74
w_i	0.1	0.2	0.4	0.1	0.2

Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х₁,m₁),(х₂,m₂),...,(х_k,m_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х₂, а на оси ординат – соответствующие им частоты m_i. Точки (х_i,m_i) соединяют отрезками и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х₁,w₁),(х₂,w₂),...,(х_k,w_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат соответствующие им частоты w_i. Точки (х_i,w_i) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот.

Пример 2. Постройте полигон частот и относительных частот по данным примера 1.
Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот:

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно (или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Часто h_i-h_i-1=h при всех i, т.е. группировку осуществляют с равным шагом h. В этой ситуации можно руководствоваться следующими эмперическими рекомендациями по выборке а, k и h_i:

1. R_размах=X_max-X_min
2. h=R/k; k-число групп
3. k≥1+3.321lgn (формула Стерджеса)
4. a=x_min, b=x_max
5. h=a+ih, i=0,1...k

Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:

Интервалы группировки	[h₀;h₁)	[h₁;h₂)	...	[h_k-2;h_k-1)	[h_k-1;h_k)
Частоты	n₁	n₂	...	n_k-1	n_k

Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты ni относительными частотами:

Интервалы группировки	[h₀;h₁)	[h₁;h₂)	...	[h_k-2;h_k-1)	[h_k-1;h_k)
Отн. частоты	w₁	w₂	...	w_k-1	w_k

Пример 3. Из очень большой партии деталей извлечена случайная выборка объема 50 интересующий нас признак Х-размеры деталей, измеренные с точностью до 1см, представлен следующим вариоционным рядом: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Найти статистический интервальный ряд распределения.

Решение. Определим характеристики группировки с помощью замечания.
k≥1+3.321lg50=1+3.32lg(5•10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6
Имеем, a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, h_i=22+4i, i=0,1,…,7.

Интервалы группировки	22-26	26-30	30-34	34-38	38-42	42-46	46-50
Частоты n_i	1	4	10	18	9	5	3
Отн.частоты w_i	0.02	0.08	0.2	0.36	0.18	0.1	0.06

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•n_i/h=n_i - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Пример 4. Постройте гистограмму частот и относительных частот по данным примера 3.