Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметромλ>0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

                   0 при х<0,

  f(х)=   λе^-λх  при х≥0.

                      

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

            0    при х≤3,

F(х)= 1-e^-λх  при х≥0.              

 

                  

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

 

M(X)=  , D(X)= , σ (Х)=

 

  

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a<Х<b)= e^-λа- e^-λb

 

Пример 2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

 

Решение: По условию математическое распределение M(X)= =100, откуда λ=1/100=0,01.

Следовательно,

                0            при х<0,

а) f(х)=  0,01е ^-0,01х при х≥0.

б) F(x)=       0        при х<0,

                   1- е ^-0,01х при х≥0.

 

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е ^-1,2)= е ^-1,2≈0,3.