Закон распределения Вейбулла

Как и другие законы, закон Вейбулла характеризуется дифферен­циальной и интегральной функциями распределения. Они определяются:

                                              (6)

и 

                                                        (7)

где t - переменная (аргумент); а и в - параметры распределения, которые находят по таблице (приложение 2) в зависимости от коэффициента вариации V.

При использовании таблицы П2.зачастую расчетное значение V  от­личается от табличного. В этом случае следует проводить интерпо­ляцию.

Для рассматриваемого примера V = 0,371.

         В₁ = 2,9;    V₁ = 0,375

        В =?            V = 0,371

    В₂ = 3,0;      V₂ = 0,363

Отсюда

Таким же образом находятся коэффициенты Кв и Св. Для данного при­мера Кв = 0,8916, Св = 0,330.

Параметр «а» определяется а = σ/Св

 Для примера а = 1,243/0,330 = 3,766 тыс.м.-ч.

 

По теоретическому закону распределения средний ресурс

t_ср = а ·Кв + t^!,                                                            (8)

Для примера t_{ср др} = 3,766 • 0,8916 + 0,2 = 3,557 тыс.м.ч.

Для облегчения расчетов значений дифференциальной f(t) (средины интервалов) и интегральной F (t) (верхних значений интер­валов) функции распределения составлены таблицы (приложения 3 и 4).

Для удобства расчетов составляется вспомогательная таб­лица. Для рассматриваемого примера составлена таблица 3.

 

Таблица 3. Расчет значений f (t) и F(t)

№ п/п	Интервалы тыс.м-ч	Интервалы, с учетом  t!	Средина интервалов, tсрi	tср i / a	a · f (t)	f (t)	tвi	tвi/ a	F(t)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1.	0,2 - 1,5	0-1,3	0,65	0,173	0,150	0,040	1,3	0,345	0,050
2.	1,5 - 2,8	1,3-2,6	1,95	0,518	0,705	0,187	2,6	0,690	0,290
3.	2,8 - 4,1	2,6-3,9	3,25	0,863	1,140	0,303	3,9	1,035	0,666
4.	4,1 - 5,4	3,9-5,2	4,55	1,208	0,754	0,200	5,2	1,380	0,919
5.	5,4 - 6,7	5,2-6,5	5,85	1,553	0,195	0,049	6,5	1,725	0,989

Во втором столбце таблицы 3 проставляются интервалы из таб­лицы 2. В третьем столбце эти интервалы смещены на величину t^! (0,2 тыc. м.-ч.) и начинаются с нуля. В четвертом столбце про­ставляются средины интервалов третьего столбца. В пятом столбце проставляется отношение средины каждого интервала на параметр «а».

По полученным отношениям и параметру «в» из приложения 3 нахо­дятся интервальные значения. a · f (t). А из отношения a· f (t) /а получают значения функции f (t). При использовании приложения 3 следует пользоваться интерполированием (пример см. выше).

В столбце 8 таблицы 3 проставляются значения конца интерва­ла t_вi (столбец 3), а в столбце 9 отношение t_вi/ a.

По по­лученным отношениям и параметру «в» находятся значения функции F(t) из приложения 4.                                            

.Полученные зависимости f (t) и F(t) наносятся на полигон и кривую накопленных опытных вероятностей (рис 1 и 2) по интер­валам столбца 2 таблицы 3. Производится визуальная оценка совпа­дения опытных и теоретических значений показателя надежности.

Пример использования функций. f (t) и F(t).

Требуется определить количество отказов двигателей в интервале 2000-3000 м.-ч. для рассмотренного примера       (t_{ср др} = 3,554 тыс.м.-ч. σ = 1,243 т.м.ч.).

Используя график f (t) (рис. 1), находим:

средина интервала t_ср = 2500, f (t _ср ) = 0,245

Р(t₂-t₁) = f (t _ср )·( t₂ – t₁) = 0,245 · 1,00 = 0,245.

 (у 24,5% двигателей в этот период наступает отказ).

Используя график F(t) (рис.2), находим:

F (2000) = 0,125; F(3000) = 0,370.

F (2000…3000) = F (2000) - F (3000) = 0,370 - 0,125 = 0,245.

Как и в первом случае 24,5% двигателей откажет в этот- промежуток. «»