Линейные неравенства

Линейные уравнения.

Корнем уравнения (решением уравнения) называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти множество его корней.

Областью определения уравнения (областью допустимых значений переменной в уравнении) называется множество значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл.

Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

В процессе решения уравнений стремятся данное уравнение заменить более простым уравнением, равносильным ему. При этом используются следующие свойства:

из данного уравнения получается равносильное ему уравнение,

1) если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число;

3) если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения.

Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

 

Пример:       (2х + 1)(3х –2) – 6х(х + 4) = 67 – 2х

Умножим в левой части уравнения многочлен на многочлен и одночлен на многочлен, а затем раскроем скобки:

                    (6х² + 3х –4х – 2) – (6х² + 24х) = 67 – 2х,

                     6х² + 3х – 4х – 2 – 6х² − 24х 67 – 2х.

Перенесем слагаемые, содержащие х, в левую часть и свободные члены – в правую, изменяя при этом знаки:

6х² + 3х – 4х – 6х² – 24х – 2х = 67 + 2.

Приведем подобные слагаемые:

                     −23х = 69.

Разделим обе части уравнения на −23:

                      х = −3.

         Ответ: х = −3.

 

Пример: –  = −2.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, т.е. на 12, получим:

               (  –  ) · 12 = −2 · 12.

Раскроем скобки и выполним сокращение:

 –  = −24,

             (х + 3) · 4 – (3х – 1) · 3 = −24.

Далее имеем:

             4х + 8 – 9х + 3 = −24

             4х – 9х = −24 – 8 – 3

             − 5х = − 35

х = − 35: (−5)

              х = 7.

Ответ: х = 7.

 

Линейные неравенства.

Для неравенств с одной переменной справедливы свойства, аналогичные свойствам уравнений с одной переменной:

из данного неравенства получается равносильное ему неравенство,

1) если перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив его знак;

2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный;

3) если в какой-либо части или в обеих частях неравенства выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения неравенства.

 

 

Пример:      2(3 – х) – (4х – 1) < х + 6.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

6 – 2х – 4х + 1 < х + 6.

Перенесем слагаемые, содержащие х, в левую часть, а свободные члены – в правую, изменяя при этом их знаки:

                −2х – 4х – х < 6 –6 – 1.

Приведем подобные слагаемые:

                −7х < − 1.

Разделив обе части неравенства на отрицательное число −7, изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим:

                х > .

Ответ: х є (