Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений основаны на возможности замены иррационального уравнения рациональным уравнением, которое является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным;

2) если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом, в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

При возведении в квадрат обеих частей уравнения могут появиться лишние корни. Чтобы определить истинность найденных корней, каждый корень последнего уравнения подставляют в исходное уравнение. Значения переменной, которые при подстановке не дают истинных равенств, отбрасывают как посторонние корни.

 

Пример:  = − 3.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

                     (  )³= (− 3)³,

                          х – 9 = − 27.

Перенесем слагаемые, содержащие х, в левую часть, а свободные члены – в правую, изменяя при этом их знаки:

                        х = − 27 + 9,

                        х = − 18.

Проверим, что полученное число является решением уравнения. Подставим в данное уравнение это число.

ПРОВЕРКА:  = − 3,

 = − 3,

                     − 3 = − 3.

Получили верное равенство.

Следовательно, х = − 18 – решение данного уравнения.

Ответ: х = − 18.

Пример:  =

Возведем обе части уравнения в квадрат:

             (  )² = )²,

                  2х – 3 = х + 2.

Перенесем слагаемые, содержащие х, в левую часть, а свободные члены – в правую, изменяя при этом их знаки:

                 2х – х = 2 + 3,

Приведем подобные слагаемые:

                  х = 5.

Проверим, что полученное число является решением уравнения. Подставим в данное уравнение это число.

ПРОВЕРКА:  =

 = .

Получили верное равенство.

Следовательно, х = 5 – решение данного уравнения.

Ответ: х = 5

Пример: = х – 2.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

             (  )² = (х – 2)²,

               х = х² – 4х + 4.

Перенесем все в одну часть уравнения и, приравнивая к нулю, получаем квадратное уравнение:

               х² − 5х + 4 = 0

D= b² – 4ac= (−5)² – 4· 1· 4 =25 − 16 = 9 = 3²

    х₁ =  =  = = 1

    х₂ =  =  = 4.

Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Подставим в данное уравнение эти числа.

ПРОВЕРКА: х = 1

 = 1 – 2,

                    1 = −1.

Получили неверное равенство, следовательно, х = 1 – посторонний корень.

х = 4

 = 4 – 2,

2 = 2.

Получили верное равенство, следовательно, х = 4 – решение данного уравнения.

Ответ: х = 4.

 

2) Варианты решения

 

1 вариант:  Болотов, Ильин, Кузьмин, Тугарин, Фокин

2 вариант:  Аванесов, Анеков, Калинин, Миронов, Хейкинен

3 вариант:  Лунев, Флотский, Никитин, Кураш, Гарай

4 вариант:  Бобров, Бондаренко, Мысов, Петров, Юсубов

 

3) Практическая работа № 23 «Решение линейных, квадратных и иррациональных уравнений и неравенств».

 

1 вариант

  Решить уравнения:

1) – (18 + 4х) ∙ х = 76 – 2х(2х – 1);      2)  –  = – ;   

 

3)  х² + 3х – 4 = 0; 4) 3х² – 7х + 4 = 0; 5) 3х² – 4х = 0; 6) 7х² – 63 = 0; 

 

7)  = 3;        8)  = ;     9)  = х – 5.

 

   Решить неравенства:

 

10) 5(х – 1) + 7  1 – 3(х + 2);    11) х² – 15х – 16  0.

 

2 вариант

 

  Решить уравнения:

1) 0,3(2х – 1) –0,4(х + 8) = 1,2х – 1;         2) –  +  = ;               

 

3) х² – 6х + 8 = 0; 4) 5х² – 8х + 3 = 0; 5) – 5х² + 6х = 0; 6) 3х² – 75 = 0;    

 

7)  = 5; 8)  = ; 9)  = х – 10.

     

 Решить неравенства:

 

10) 4(х + 8) – 3  7(х – 1) + 9;     11) х² – 9х + 20  0.

3 вариант

 

  Решить уравнения:

 

1) 1,6 = 0,8(6х – 1) – 3,2(х + 2) + 1;        2)  –  = ;                

 

3) х² + х – 6 = 0; 4) 3х² – 13х + 14 = 0; 5) 10х² + 7х = 0; 6) 5х² – 80 = 0;    

 

7)  = 2;      8)  = ;  9)  = х – 2.

      

  Решить неравенства:

 

10) х + 2  5(2х + 8) + 13(4 – х);  11) 5х² + 12х + 7  0.

 

4 вариант

 

  Решить уравнения:

 

1) – 11 = (18 – 6х) ∙ 4 – (3х + 1) ∙ 5;    2)  +  = 0,3х;                         

 

3) х² + 4х + 3 = 0; 4) 2х² – 9х + 10= 0; 5) 4х² – 3х = 0; 6) 3х² – 12 = 0;    

 

7)  = 4;      8)  = ;     9)  = х – 3.

    

Решить неравенства:

 

10) 4(2 – 3х)  (5 – х)  11 – х;   11) 7х² – 13х – 20  0.

 

Срок сдачи задания 07.04 включительно (до 15-30).

 

Группа: 2 См 06.04.20

дисциплина: математика

преподаватель: Левченко Н.Г.

Тема урока: «Повторение: Действия с корнями» (2 часа)

 

План

1) Изучить справочный материал

2) Выполнить тесты

3) Выслать результат, не забывая обязательное условие, указанное ниже.

 

1. Справочный материал

Основные свойства арифметических корней степени:

 

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b справедливы равенства:

 

1˚.  =  ·

2˚.  =  .

 

3˚.  = (k > 0).

 

4˚.  = (k > 0).

 

5˚.  = (  )^k (если k ≤ 0, то a ≠ 0).

 

6˚. Для любых чисел a и b, таких, что 0 ≤ a < b, выполняется неравенство: .

 

2. Пройти по ссылкам и выполнить онлайн тесты

Не забываем, где требуется (в конце или начале теста), напечатать свое имя и фамилию! Это обязательное условие.

 

Тест1 Квадратный корень

Обратите внимание!!! Чтобы напечатать знак > ˂ или =, скопируйте один из предложенных в скобках, который вы считаете правильным, и вставьте в строчку ответа. Выполняйте:

https://onlinetestpad.com/ru/test/193812-kvadratnye-korni-podgotovka-k-kontrolnoj-rabote

 

Тест 2 Корень п-й степени

Обратите внимание!!! В этом тесте есть одна опечатка вместо  стоит . Считаем как . Выполняйте:

https://onlinetestpad.com/ru/test/30939-algebra-10-klass-tema-korni-stepeni-n-i-ikh-svojstva

 

3. Результат выполнения теста в виде скриншота или фото жду до 08.04 включительно (до 15-30)

Группа: 2 См 08.04.20

дисциплина: математика

преподаватель: Левченко Н.Г.

Тема урока: «Повторение: Показательные уравнения и неравенства» (2 часа)

 

План

1) Изучить справочный материал (конспект делать необязательно)

2) Выполнить задания, не забывая написать, чему равно р₁, р₂, р₃

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

Уравнение или неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.            

a^x = b – простейшее показательное уравнение.

 

Если b < 0 или b = 0, то уравнение не имеет решений.

Если b > 0, то уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a^с. Значит, с является решением уравнения a^x = a^с, то есть х = с.

Пример: Решить уравнение 5^2х–7 = 125.

Перепишем его в виде 5^2х–7 = 5³. Корнями этого уравнения являются такие числа х, для которых 2х – 7 = 3. Переносим – 7 в правую часть уравнения, поменяв знак: 2х = 7 + 3.

Тогда 2х = 10 и х = 10: 2. Получаем х = 5.

Пример: Решить уравнение 6^х+1 + 35 · 6^х-1 = 71.

Заметим, что 6^х+1 = 36 · 6^х-1. Поэтому данное уравнение можно записать в виде

36 · 6^х-1 + 35 · 6^х-1 = 71. Выносим общий множитель за скобки 6^х-1(36 + 35) = 71, то есть

6^х-1 · 71 = 71. Тогда 6^х-1 = 71: 71. Значит 6^х-1 = 1, 6^х-1 = 6⁰, х – 1 = 0, х = 1.

 

Пример: Решить уравнение 4^х – 5 · 2^х + 4 = 0.

Сделаем замену переменной t = 2^x.Заметим, что 4^x = (2^x)² = t². Поэтому данное уравнение принимает вид t²– 5t + 4 = 0. Найдем решение этого квадратного уравнения:

t₁ = 1 иt₂ = 4. Решаем уравнения  2^х = 1            2^х = 4

                                                             2^х = 2⁰          2^х = 2²

                                      х = 0            х = 2.