Логарифмические уравнения

Простейшее логарифмическое уравнение .

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке (0; ) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне отсюда следует, что для любогоbданное уравнение имеет, и причем только одно, решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что  является таким решением.

Пример: Решить уравнение  = 3.

По определению логарифма  = 2³

 = 8

 = 0

Решаем квадратное уравнение:            D= 4² – 4· 1 · (–5) =36

                                х₁ =  =  = – 5           и   х₂ =  =  = 1.

Следовательно, числа 1 и –5 являются решениями данного уравнения.

Ответ: –5; 1.

 

Пример: Решить уравнение

Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства (выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше 0):

=> ОДЗ: х ꞓ (−2; +∞)

Для этих х данное уравнение равносильно уравнению 3х + 7 = х + 2

                                                                                         3х – х = 2 – 7

                                                                                          2х = –5

                                                                                           х = –2,5.

Число х = –2,5 не входит в ОДЗ. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: ø

 

Пример: Решить уравнение

Сделаем замену переменной у = . Поэтому данное уравнение принимает вид

                      у² – у – 6 = 0.

Решаем квадратное уравнение:            D= (-1)² – 4· 1 · (–6) =25

                                у₁ =  =  = – 2           и   у₂ =  =  = 3.

Получаем уравнения  = –2                    = 3

                                     х = 2^-2                           х = 2³      

х =                               х = 8.                     

Ответ: ; 8.    

 

2. Выполнить задания

Решите уравнения

1.  = 3

 

2.  = −4

3.

 

4.

 

5.  = −3

 

6.  +  = 4

 

 

Срок сдачи задания 11.04 включительно (до 15-30).