См. файл: Алгоритм r-критерия Пирсона (Excel)

 

 

5. Коэффициент ранговой корреляции τ Кендалла.

 

Назначение и описание коэффициента корреляции τ Кендалла.

 

Коэффициент корреляции τ «тау» Кендалла имеет те же свойства, что и коэффициент Спирмена (изменяется от –1 до +1, для независимых слу- чайных величин равен нулю), однако он считается более информативным.

Первым этапом расчета коэффициента τ Кендалла является ранжирование рядов переменных (одинаковым значениям ряда присваивают среднее ранговое число). Первая переменная должна быть упорядочена по возрастанию рангов.

Коэффициент корреляции τ Кендалла определяется по формуле:

(Ф4)

где n – объем выборки (число сопоставляемых пар);

Ri   – число рангов во втором вариационном ряду, бóльших, чем данное ранговое число и расположенных ниже него.

Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Кендалла заключается в сопоставлении вычисленного значения коэффициента «тау» по модулю с критическими значениями:

(Ф5)

где n – объем выборки,

z 1– α /2 – квантили нормированного нормального распределения

 (z 1– α /2 = 1,960 для α = 0,05; z 1– α /2 = 2,576 для α = 0,01).

Гипотезы:

Н₀: Корреляция между переменными X и Y не отличается от нуля (не существует).

Н₁: Корреляция между переменными X и Y достоверно отличается от нуля (существует).

 

Ограничения коэффициента ранговой корреляции τ Кендалла

Нулевая гипотеза τ = 0 не отвергается, если значение коэффициента

корреляции Кендалла (по модулю) попадает в область допустимых значе- ний: | τ | ≤ τ 0,05(n).

Корреляция считается значимой, если модуль коэффициента «тау»

попадает в критическую область: | τ | > τ 0,01(n).

Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Кендалла заключается в сопоставлении вычисленного значения коэффициента «тау» по модулюс критическими значениями:

1,960 для α = 0,05;

2,576 для α = 0,01

 

 

АЛГОРИТМ

Подсчёта коэффициента ранговой корреляции τ Кендалла

 

1. Значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания.

2. Значения Y располагаются в порядке, соответствующем значениям Х.

3. Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа определяется величина, как мера соответствия последовательностей рангов по Х и Y и учитывается со знаком (+).

4. Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, меньших его величины и фиксируется знаком (-).

5. Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

6. Коэффициент корреляции τ Кендалла определяется по формуле:

(Ф4)

где n – объем выборки (число сопоставляемых пар);

Ri   – число рангов во втором вариационном ряду, бóльших, чем данное ранговое число и расположенных ниже него.

7. Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Кендалла заключается в сопоставлении вычисленного значения коэффициента «тау» по модулю с критическими значениями:

(Ф5)

где n – объем выборки,

z 1– α /2 – квантили нормированного нормального распределения

     (z 1– α /2 = 1,960 для α = 0,05;   z 1– α /2 = 2,576 для α = 0,01).

 

Пример 3:

Требуется оценить корреляционную связь между скоростью чтения первоклассников и их усидчивостью. Скорость чтения первоклассников замерялась секундомером (слов/мин), усидчивость – с помощью экспертного оценивания по специально  разработанной пятиточечной шкале:  очень высокий (ОВ)  –  высокий (В)  – средний (С) – низкий (Н) – очень низкий (ОН) уровни. Учителю предъявлялись карточки с описанием уровня проявления усидчивости, которые он должен был соотнести с поведением каждого ученика. Результаты измерений приведены в таблице 5.1.

Решение. Скорость чтения первоклассников (переменная X) измерена в реляционной шкале, а их усидчивость (переменная Y) – в порядковой, поэтому определить связь между ними можно с помощью ранговой корреляции, проранжировав обе переменные. Решим задачу рассчитав коэффициенты ранговой корреляции Кендалла.

Гипотезы:

Н₀: Скоростью чтения первоклассников не отличается от нуля, т.е. не связана с их усидчивостью.

Н₁: Скоростью чтения первоклассников достоверно отличается от нуля, т.е. связана с их усидчивостью.

Таблица 5.1.

Ф.И.	X	Y	Rx	Ry
1. Аня К.	12,0	Н	9	8,5
2. Боря Л.	18,8	ОН	6	10
3. Вася Р.	11,0	В	10	2,5
4. Даша В.	29,0	С	2	5,5
5. Зина С.	17,5	Н	7	8,5
6. Игорь М.	23,4	ОВ	4	1
7. Катя Г.	35,6	С	1	5,5
8. Лёня А.	15,4	С	8	5,5
9. Маша Д.	26,1	В	3	2,5
10. Яша Б.	20,7	С	5	5,5

Для расчета коэффициента корреляции Кендалла необходимо расчетную таблицу перегруппировать по возрастанию рангов первой переменной. Последний столбец (R) заполняется следующим образом: ниже Кати Г. (Ry = 5,5) имеется 3 ранга Ry, бóльших, чем у Кати (5,5); ниже Даши В. (Ry = 5,5) имеется 3 ранга Ry, бóльших, чем у Даши (5,5); ниже Маши Д. (Ry = 2,5) имеется 5 рангов Ry, бóльших, чем у Маши (2,5).

Таблица 5.2.