Приведем ещё одно решение

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для Поскольку

имеем:

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:

Ответ:6.

8. В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра , точка — середина ребра Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Решение.

Стороны сечения KM, KL, и LM равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников A₁KM, KLA₁, и LA₁M, которые равны друг другу по двум катетам. Таким образом, треугольник LKM является равносторонним. Поэтому угол MLK равен 60°.

Ответ:60.

9. Найдите значение выражения

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 1.

10. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства cм/с при заданном законе изменения скорости :

Таким образом, первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

11. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Решение.

Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на процентов в год. Тогда за два года она снизилась на откуда имеем:

Ответ: 11.

12. Найдите абсциссу точки максимума функции

Решение.

Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке −2. Поскольку функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: −2.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

У второго уравнения решений нет.

Преобразуем первое уравнение: откуда

б) Оценим целыми числами: Тогда

Значит, отрезку принадлежит только

Ответ: а) б)

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3: 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Решение.

а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Значит, прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Треугольник SNB равнобедренный, поскольку отрезки SN и BN — медианы одинаковых равносторонних треугольников SAC и BAC. Поэтому SN = BN. В точке O пересекаются медианы основания, значит, Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому Значит, Следовательно, треугольники NPO и NPM равны и PN — биссектриса угла SNB. В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Значит, NK ⊥ BS.

б) Так как BS перпендикулярно NK, то искомое расстояние равно длине отрезка BK. Так как NK является медианой треугольника SNB, то

Ответ: 2.

15. Решите систему неравенств

Решение.

Заменой первое неравенство системы приводится к виду Тогда что невозможно, или откуда Заметим, что тем самым,

Для упростим правую часть второго неравенства:

Выполненные преобразования справедливы при условиях

Таким образом, при имеем:

Заметим, что С другой стороны, , а , откуда

Таким образом, и, следовательно, множеством решений данной системы неравенств является множество

Ответ:

16. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?