Приведём решение Евгения Обухова

Пусть первый завод выпускает x деталей В, а второй завод выпускает y деталей В. Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А.

На втором заводе деталь В выпускает рабочих, деталь А выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь — целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

Поскольку теперь мы можем считать , из второго неравенства находим Тогда оценим: Получили противоречие с первым неравенством.

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия

18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых и Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата с вершиной в начале координат.

2) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с вершиной в начале координат.

Точки являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых и/или поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением отрезка AB прямой дуги параболы с концами в точках B и C и дуги параболы с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол и в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг и в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.