Приведём решение Александра Шевкина (Москва)

 

а) Пусть в треугольнике ABC половина угла B равна α (см. рис.). Тогда В равнобедренном треугольнике BLD имеем: По свойству внешнего угла треугольника поэтому треугольник DCL равнобедренный что и требовалось доказать.

б) Пусть Так как находим, что По свойству биссектрисы угла треугольника, поэтому Тогда

В треугольнике ABC по теореме Менелая Так как получаем, что тогда

 

Примечание.

Можно привести ещё одно решение пункта б). Воспользуемся результатами, полученными выше:

 

 

Проведём и пусть В треугольнике DCL: в подобном ему треугольнике ECA: Значит, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

 

 

 

Приведём решение пункта б) Сергея Фефелова (Москва).

Пусть СМ биссектриса ABC, тогда по свойству биссектрисы Поскольку HL — биссектриса ALM, тогда , а значит,

17. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t ² человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х рабочих заняты на производстве детали А, а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В, и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В. Внесем данные из условия в таблицу.

 

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

 

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт. — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y, не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А, а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В. Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В, на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

 

Ответ: 33 изделия.

 

 

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А, и В независимо друг от друга) требуется t ² человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

 

Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А. Внесем данные из условия в таблицу.

 

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

 

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А.

Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А, за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В, за сутки они произведут их 99 шт.

 

Ответ: 33 изделия.

 

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А, из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

 

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В, то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В, а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А. Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В. Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

 

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.