Примечание Алексея Лапатина

Утверждение «при a = 0 прямая m касается парабол» далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.

1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.

2. Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.

19. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 7 дней?

б) Могло ли это произойти за 8 дней?

в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий?

Решение.

Пусть в первый день Наташа и Маша сделали n и m фотографий соответственно, всего они делали снимки в течение k дней. Поскольку Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша, получаем:

а) Если то есть в первый день Наташа сделала на 143 фотографии больше, чем Маша, то Значит, Наташа могла за семь дней сделать на 1001 фотографию больше, чем Маша.

б) Так как , 1001 кратно k, но 1001 на 8 без остатка не делится. Таким образом, за восемь дней Наташа не сделала бы на 1001 фотографию больше, чем Маша.

в) В последний день Маша сделала меньше 40 фотографий, то есть , откуда Так как k является делителем числа 1001 и , либо , либо , либо

Поскольку количество фотографий Наташи отличается от Машиных на константу, будем максимизировать количество снимков Маши.

Если , , откуда наибольшее возможное значение Найдем общее количество фотографий:

Таким образом, наибольшее количество фотографий, сделанных Машей, равно 429, а Наташей — 429 + 1001 = 1430.

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 1430.

Вариант № база.

1. Найдите значение выражения

Решение.

Представим в дроби в десятичном виде и выполним сложение:

Ответ: 2,65.

2. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 2.

3. Площадь земель фермерского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 49 га и распределена между зерновыми культурами и картофелем в отношении 2:5 соответственно. Сколько гектаров занимают зерновые культуры?

Решение.

Найдём количество гектар в одной части:

Найдём количество гектар в двух частях:

Ответ: 14.

4. Длину биссектрисы треугольника, проведённой к стороне , можно вычислить по формуле . Вычислите , если .

Решение.

Выразим из данной формулы :

Подставляя, получаем:

Ответ: 0,8.

5. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: −3.

6. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

Решение.

Поскольку на 10 человек следует взять 0,1 фунта чернослива, на одного человека следует взять 0,01 фунта чернослива. Тогда на трех человек потребуется 0,03 фунта чернослива, что составляет 0,03 0,4 = 0,012 кг или 12 грамм.

Ответ: 12.

7. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

Решим уравнение:

Значению соответствует . Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ: −1.

8. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 10 м × 10 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в м².

Решение.

Участок, изображенный на плане, представляет собой ромб. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Таким образом, площадь участка равна

м².

Ответ: 2400.

9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ		ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А) объём воды в озере Байкал Б) объём пакета кефира В) объём бассейна Г) объём ящика для фруктов		1) 1 л 2) 23 615,39 км³ 3) 72 л 4) 600 м³

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

Решение.

А) объём воды в озере Байкал — должна быть наибольшая величина из представленных, следовательно, 2)

Б) объём пакета кефира — должна быть наименьшая величина из представленных, следовательно, 1)

В) объём бассейна — из оставшихся величин, наибольшей является 4)

Г) объём ящика для фруктов — следовательно, 3)

Ответ: 2143.

10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

11. В соревнованиях по метанию молота участники показали следующие результаты.

Спортсмен	Результат попытки, м
Спортсмен	I	II	III	IV	V	VI
Кузнецов	54,5	53	55,5	53,5	54,5	55
Летов	55	56	54,5	55,5	56	54,5
Минаков	54	53	53,5	54	52,5	51,5
Терпилов	54,5	54	53	55	51,5	49

Места распределяются по результатам лучшей попытки каждого спортсмена: чем дальше он метнул молот, тем лучше. Каков результат лучшей попытки (в метрах) спортсмена, занявшего третье место?

Решение.

Из таблицы видно, что лучший результат показал Летов (56 м.), второе место занял Кузнецов с лучшим результатом 55,5 метра. Третье место занял Терпилов с результатом 55 метров.

Ответ: 55.

12. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам, выраженное в километрах.

Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Решение.

Рассмотрим все варианты.

Грузовик, идущий через пункт B, прошел путь 28 + 42 = 70 км потратил на дорогу 70: 35 = 2 часа.

Автобус, идущий через пункт C, прошел путь 45 + 30 = 75 км потратил на дорогу 75: 30 = 2,5 часа.

Автомобиль, идущий без промежуточных пунктов, прошел путь 60 км потратил на дорогу 60: 40 = 1,5 часа.

Позже других добрался автобус.

Ответ: 2,5.

13. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому один из кубов в 2 раза больше другого. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Ответ: 4.

14. На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ		ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
A B C D		1) 0,5 2) − 0,7 3) 4 4) − 3

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	B	C	D

Решение.

Пусть угол, который составляет касательная с положительным направлением оси абсцисс, равен α, а угловой коэффициент касательной равен k. Тогда:

α	k

Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Таким образом, получаем соответствие: А — 4, B — 3, C — 1 и D — 2.

Ответ: 4312.

15. Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность радиуса .

Решение.

вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до , значит, . По теореме косинусов:

Ответ: 3.

16. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 30 .

Решение.

Объем призмы где – площадь основания, а – длина ребра, составляющего с основанием угол . Площадь правильного шестиугольника со стороной равна

Тогда объем призмы

Ответ: 18.

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА		РЕШЕНИЯ
А) Б) В) Г)

Решение.

Учитываем ОДЗ для логарифма во всех случаях:

А) , следовательно, вариант 2)

Б) , следовательно, вариант 4)

В) , следовательно, вариант 3)

Г) , следовательно, вариант 1)

Ответ: 2431.

18. В группе учится 30 студентов, из них 20 студентов получили зачёт по экономике и 20 студентов получили зачёт по английскому языку. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

В этой группе

1) не менее 10 студентов не получили зачёта ни по экономике, ни по английскому языку

2) хотя бы 10 студентов получили зачёты и по экономике, и по английскому языку

3) не больше 20 студентов получили зачёты и по экономике, и по английскому языку

4) найдётся студент, который не получил зачёта по английскому языку, но получил зачёт по экономике.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение.

1) Студентов, которые не получили ни одного зачёта, от 0 до 10. Но не «не менее 10».

2) Это верно.

3) Да, так как всего по экономике получили зачёты 20 студентов. То есть больше студентов с зачётом по экономике быть не может.

4) Не факт. Может быть такое, что каждый студент, который получил зачёт по экономике, также получил зачёт и по английскому языку.

Ответ: 23.

19. Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение.

Пусть наше число имеет вид . Тогда имеем И так как число делится на 4, делится на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. То же самое, если единиц меньше, чем две. В этом случае произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, это концовка нашего числа. Нельзя брать числа с нулём, так как в этом случае произведение будет равно нулю.

12: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая — 4.

16: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая никакая не подойдёт.

24: значит, оставшиеся цифры — единицы.

Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.

Таким образом, исходные числа: 1412, 4112, 1124.

Ответ: 1124 или 1412, или 4112.

20. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение.

Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462: 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этаже в подъезде не меньше 9 квартир.

Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию.

Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.

Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: