Решение системы методом подстановки

Почему уравнение не имеет решений

Вынесем из выражения общий множитель :

Представим выражение следующим образом:

В первых трех слагаемых видим полный квадрат, свернем его по формуле :

Каждое из полученных слагаемых – неотрицательная величина. Их сумма может быть равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю:

Второе слагаемое равно нулю только при :

Но при первое слагаемое равно , а не нулю. Таким образом, сумма этих двух слагаемых не равна нулю ни при каких действительных значениях :

Уравнение не имеет решений.

Получаем ответ:

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение

Степени четные, значит, из равенства шестых степеней следует:

Получили два линейных уравнения. Из первого:

Из второго:

Ответ:

Системы уравнений

Перейдем к системам уравнений. Для их решения есть несколько стандартных методов:

1. метод подстановки;

2. метод домножения и сложения.

Задание 6. Решить систему уравнений:

Решение

Данную систему можно решить методом подстановки, выразив, к примеру, из второго уравнения через . Если вам интересен этот способ решения, можете ознакомиться с ним ниже.

 

Решение системы методом подстановки

ОДЗ:

Умножаем обе части второго уравнения на выражение :

Раскроем скобки в правой части второго уравнения:

Выразим во втором уравнении:

Подставим это выражение в первое уравнение:

Приведем подобные слагаемые:

Вынесем за скобку:

Делим обе части уравнения на :

Решения системы:

Вторая пара не удовлетворяет ОДЗ: .

Ответ: .

Но можно сделать проще. Обратите внимание, что в первом уравнении произведение множителей равно нулю. Значит, хотя бы один из них равен нулю:

Теперь метод подстановки применить намного проще, подставляем во второе уравнение:

Сокращаем дробь:

Получили неверное равенство, значит, не является решением системы.

Подставим во второе уравнение:

Это значение входит в ОДЗ. Получаем единственное решение: .

Ответ: .

Решение неравенств и их систем

Теперь перейдем к решению неравенств и их систем. Основной метод их решения – метод интервалов. Ниже вы можете найти решение более сложного дробно-рационального неравенства. Хотя вся «сложность» заключается лишь в довольно громоздких преобразованиях, а ход решения и алгоритм везде одинаковый.