На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины

СВ Х, распределенную по биномиальному закону с параметрами n,p, можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных альтернативных СВ X_i с параметром p:

     _n

Х= ΣX_i. При этом МX_i =р, DX_i =Р(1-р). По свойству мат.

     ⁱ⁼¹

ожидания МХ=

          _{n                                                                                    n}

МХ= ΣМX_i=np, по св-ву дисперсии DX=ΣDX_i =np(1-p)

        ^{i=1                              i=1}

На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.

СВ Х, распределенную по биномиальному закону с параметрами n,p, можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных альтернативных СВ X_i с параметром p:

     _n

Х= ΣX_i. При этом МX_i =р, DX_i =Р(1-р). По свойству мат.

     ⁱ⁼¹ ожидания МХ=

         _{n                                                                                     n}

МХ= ΣМX_i=np, по св-ву дисперсии DX=ΣDX_i =np(1-p)

 

Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (математического ожидания) случайной величины.

Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии случайной величины.

для случайной выборки оценка дисперсии принимает вид:

                           1 _n

σ²"с крышечкой"=¯n¯ Σ(X_i - X¯)²

                                                     ⁱ⁼¹

раскрываем квадрат под знаком суммы в уравнении:

                                1 _n

Mσ²"с крышечкой"=¯n¯Σ(MX_i²-2M(X_iX¯)+MX¯²)

                                                         ⁱ⁼¹

находим теперь каждое из слагаемых в скобках под знаком суммы:

 

MX_i²=DX_i+(MX_i)²=σ²+а²

                                    1 _n          1         _n                 σ²

M(X_iX¯)=M(X_i¯n¯ΣX_j)=¯n¯(MX_i²+Σ MX_i MX_j)=¯n¯+а²

                                           ^{j=1                               i,j=1}

                                                                                    ^{i не равно j}

             1 _n     1 _n        1 _{n       n}                        σ²

MX¯²=M(¯n¯Σ X_i*¯n¯Σ X_j)=¯n²¯(Σ MX_i²+Σ MX_i MX_j)=¯n¯+а²

                 ^{i=1              j=1                  i=1          i, j=1}

                                                                                                    ^{i не равно j}

 подставим найденные выражения в формулу (она вторая по счету) и получим:

 

                                       σ²  n-1

Mσ²"с крышечкой"= σ²- ¯n¯= ¯n¯ σ²

Отсюда мы видим, что оценка σ²"с крышечкой" имеет систематическое смещение(-σ²/n),

Т.е. эта оценка занижает в среднем истинное значение дисперсии на σ²/n.

С целью устранения смещения скорректируем оценку следующим образом:

    n                                    1 _n

s²=¯n-1¯* σ²"с крышечкой"=¯n-1¯Σ(X_i - X¯)²

                                                                                   ⁱ⁼¹

в самом деле:

         n

M s²=¯n-1¯M σ²"с крышечкой"= σ²

Т.е. скорректированная оценка действительно не смещена.

 

О