Вычисление моментов инерции

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Дано: радиус диска, масса диска.

Найти: момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска.

Разобьём диск (рис. 3.4) на кольца с радиусом , толщиной . По определению момента инерции . Пусть поверхностная плотность диска , тогда масса кольца , где площадь кольца, . Интегрируя по радиусу, находим момент инерции диска:

= ,

3. Тонкий однородный стержень

Дано: масса стержня, длина стержня.

Найти: (момент инерции относительно оси ОО, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему) (рис. 3.5).

Ввиду одномерного характера задачи выражение можно заменить на , где , тогда .

Теорема Штейнера (без вывода)

Постановка задачи. Известен момент инерции произвольного тела массой относительно оси, проходящей через его центр тяжести (рис. 3.6). Требуется найти, каков момент инерции относительно какой-либо оси , параллельной первой и находящейся на расстоянии от неё.

Теорема. Момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела С и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями a:

Пример применения теоремы Штейнера.

Требуется найти момент инерции тонкого однородного стержня массой и длиной относительно перпендикулярной к нему оси , проходящей через центр стержня (рис. 3.7).

Решение:

Воспользуемся полученным ранее выражением для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец:

. Используя теорему Штейнера, получаем:

отсюда .

Момент импульса. Моментом импульса материальной точки называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки на ее импульс

Момент силы. Пусть О – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы. Обозначим радиус-вектор, проведённый из этой точки к точке приложения силы (Рис. 3.8).

Момент силы равен произведению силы на радиус вектор

где - радиус-вектор точки приложения силы. Модули момента импульса и момента силы определяются по формулам , ,

где a - угол между векторами, h - плечо вектора или .

Момент импульса системы равен сумме моментов импульсов точек

Скорость изменения момента импульса системы точек равна сумме моментов всех внешних сил

. .

Изменение момента импульса системы равно сумме импульсов моментов всех внешних сил

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент импульса сохраняется

Момент импульса так же сохраняется, если система находится в поле внешних центральных сил или момент внешних сил скомпенсирован.

Динамика твердого тела. Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями: уравнением движения центра масс и уравнением моментов относительно центра масс

, .

Вращение тела вокруг неподвижной оси z описывается уравнением

где e - угловое ускорение, I – момент инерции тела, - проекция момента сил на ось z.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Тепловые явления

МКТ	термодинамика
изучает свойства макроскопических тел и процессы, происходящие в них, на основе представлений о том, что все тела состоят из большого числа частиц	изучает тепловые процессы, происходящие с макроскопическими телами (термодинамическими системами), не заглядывая вовнутрь вещества, а опираясь на общие законы.

В основе МКТ лежат 3 основных положения (утверждения):

№	утверждение	комментарии	доказательства
1	Все тела состоят из отдельных частиц (атомы, молекулы, ионы), между которыми есть промежутки – дискретное строение вещества	Простые вещества состоят из одинаковых атомов(молекул)-С, Аl, O₂ Сложные-молекулы состоят из атомов различных химических элементов– H₂O, CH₄,NaCl	- Получены фотографии молекул с помощью ионного микроскопа - растворимость веществ - механическое дробление - постепенное испарение жидкостей
2	Частицы непрерывно хаотично движутся	Молекулы (атомы) участвуют в тепловом движении, которое никогда не прекращается. Характер движения в различных состояниях вещества разный. Скорость движения определяет температуру тела	- диффузия (перемешивание молекул различных веществ) в газах, жидкостях и твёрдых телах - броуновское движение (движение растворённых в жидкости или газе макроскопических частиц: споры плауна, частицы пыли, дыма в воздухе, жира в молоке и т.д.) - испарение жидкостей
3	Частицы взаимодействуют между собой	Природа взаимодействия – электромагнитная, обусловлена взаимным притяжением и отталкиванием заряженных частиц в атоме	- свойство газов легко менять объём - несжимаемость жидкостей - возникновение упругих деформаций - форма и объём твёрдых тел - склеивание

Агрегатные состояния вещества.

Газ (французское от греческого хаос) – агрегатное состояние вещества, в котором его частицы не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия и движутся свободно, заполняя весь предоставленный им объем и принимая его форму. В отличие от твердых тел и жидкостей, объем газа существенно зависит от давления и температуры. Любое вещество можно перевести в газообразное состояние надлежащим подбором давления и температуры .

Жидкость – агрегатное состояние вещества, промежуточное между твёрдым и газообразным. Жидкости присущи некоторые черты твердого тела (сохраняет свой объем, образует поверхность, обладает определенной прочностью на разрыв) и газа (принимает форму сосуда, в котором находится, может непрерывно переходить в газ). В то же время жидкость обладает рядом присущих прежде всего ей особенностей, наиболее характерной из которых является текучесть. Текучестью называют свойство тел пластически или вязко деформироваться под действием напряжений. У вязких тел (газов, жидкостей) текучесть проявляется при любых напряжениях; у пластичных твердых тел – лишь при высоких напряжениях, превышающих предел текучести.

Твердое тело – агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, которые совершают малые колебания относительно положений равновесия. Различают кристаллические и аморфные твердые тела. Для кристаллов характерна пространственная периодичность в расположении равновесных положений атомов. В аморфных телах атомы колеблются относительно хаотически расположенных в пространстве точек. Поскольку устойчивым состоянием системы атомов (с минимальной внутренней энергией) твердого тела является кристаллическое, то с термодинамической точки зрения аморфное тело находится в метастабильном состоянии и с течением времени должно закристаллизоваться. Все вещества в природе (за исключением жидкого гелия) затвердевают при атмосферном давлении и температуре .