Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к математическому маятнику является небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Итак, пусть шарик массой m подвешен на нити длиной l. Выведем его из равновесия и отпустим. Он начнёт качаться. Составим уравнение его движения и покажем. что оно совпадает с уравнением колебаний (9.1). Но это будет так лишь при условии, что колебания маятника будут малыми. Термин «малые» означает, что максимальное смещение Х шарика от положения равновесия (амплитуда колебаний) будет много меньше длины нити: Х << l (рис. 9.4). А это значит, что максимальный угол отклонения нити α_max<< 1, так как при небольших отклонениях sin α ≈ tg α ≈ α ≈ x/l.

Замечание. В выражении α_max<< 1 угол α, конечно же, надо брать в радианах, т. е. α << 1 рад, т. е. α << 57º, т. е. α ≤ 5º. Таким образом, малым следует считать отклонение, не превышающее 5-6º.

Из рис. 9.4 видно, что при малых отклонениях шарика возвращающая сила F = mg sin α ≈ mg (x/l). А так как эта сила направлена против смещения х, то в проекции на ось х следует записать:

F_х = −mg (x/l).

Тогда, по второму закону Ньютона,

ma_x = − ,

или:

.

Видно, что это уравнение совпадает с (9.1), если обозначить , т. е. шарик будет совершать синусоидальные колебания, описываемые функцией (9.3), и период этих колебаний

                                             (9.8)

не зависит от массы шарика, а только от длины нити и ускорения свободного падания g в данном месте Земли.

Коэффициенты А и В в общем решении (9.3) определяются из начальных условий, т. е. из способа возбуждения колебаний шарика: либо шарик отклонили на величину Х и отпустили (тогда х (0) = Х, υ(0) = (0) = 0), либо толкнули его из положения равновесия с некоторой скоростью υ₀ (в этом случае х (0) = 0, υ(0) = (0) = υ₀). В первом случае А = 0, В = Х, и шарик будет качаться по закону

х = Х cos ω t

с периодом (9.8).

Физический маятник

Рассмотрим ещё одну колебательную систему – твёрдое тело произвольной формы, свободно качающееся на горизонтальной оси в поле тяжести. Такая система называется физическим маятником. Им может быть стержень на оси, кольцо или диск на оси, не проходящей через центр масс.

Итак, пусть твёрдое тело подвешено на горизонтальной оси О (рис. 9.5). Как и для математического маятника, колебания будем считать малыми, т. е. угол отклонения α << 1 рад (57º), т. е. sin α ≈ α.

Поскольку здесь мы имеем движение твёрдого тела с закреплённой осью, то это будет вращательное движение и его следует описывать уравнением вращения:

I  = I  = M,

где I – момент инерции тела относительно оси вращения О, М – момент силы относительно этой же оси О,  − угловое ускорение тела. Из рис. 9.5 видно, что момент силы М = Fl = mgl sin α ≈ mgl α. Но так как этот момент является возвращающим, т. е. он действует на тело против направления отклонения α, то следует записать:

М = − mgl α.

И тогда уравнение вращения тела примет вид:

 + ω² α =0,

где обозначено: ω² = mgl / I. Видно, что это уравнение совпадает с (9.1), т. е. тело будет совершать синусоидальные колебания, описываемые функцией (9.3), и период этих колебаний

                                             (9.9)

Если колебания физического маятника возбуждать, отклоняя тело на некоторый угол α₀ и затем отпуская его, то, как и ранее, несложно показать, что они будут проходить по закону:

α = α₀ cos ω t

с периодом (9.9).

Пример 1. Найти период колебаний кольца радиусом R = 10 см, подвешенного на гвозде. Колебания происходят в плоскости кольца (рис. 9.6).

Решение. Момент инерции кольца относительно точки подвеса О определяем из теоремы Штейнера: I_О = I_C + mR ² = 2 mR ². Следовательно, ≈ 0,9 с.

Пример 2. Найти период колебаний стержня длиной а = 20 см, шарнирно закреплённого на верхнем конце.

Решение. Момент инерции стержня относительно точки подвеса I = mа ²/3. Расстояние между точкой подвеса и центром масс l = а/ 2. Следовательно,

≈ 0,73 с.