Задачи, приводящие к решению экстремальных проблем

y_b

Задача о брахистотроне. В вертикальной плоскости через две данные точки О и В, не лежащие на одной вертикали, требуется провести кривую (то есть найти ее уравнение), двигаясь по которой материальная точка под действием силы тяжести переместится из верхней точки в нижнюю за кратчайшее время (рис. 1). Точка О совпадает с началом координат, ось Оу направлена вниз.

Рис. 1. Брахистотрона

Предположим, что начальная скорость падающей материальной точки равна нулю, а сила трения отсутствует. В момент времени, когда расстояние по вертикали от начального положения будет равно у, материальная точка потеряет потенциальную энергию

, где

- масса точки,

- ускорение свободного падения. Кинетическая энергия при этом увеличится на

, где

- скорость точки.

В силу закона сохранения энергии

откуда скорость точки .

Предполагая, что траектория движения есть кривая, описываемая уравнением , причем - гладкая функция, определенная на отрезке , получаем

, (5)

где: - дифференциал дуги кривой;

t – время.

Равенство (5) можно переписать в виде

откуда . (6)

Используя уравнение (6), можно найти время, необходимое для перехода из точки О в точку В:

. (7)

Краевые условия

. (8)

Требуется найти гладкую функцию , доставляющую минимум интегралу (7) при краевых условиях (8).

Задача о брахистотроне была сформулирована Иоганном Бернулли в 1696 году, поэтому1696 год принято считать датой рождения вариационного исчисления как раздела математики.

Основные определения

Пусть задано некоторое множество функций М.

Функционалом I на множестве М называется отображение множества функций М на множество действительных чисел R.

То есть функционал – это функция, аргументами которой являются функции, принадлежащие некоторому множеству М (М – область определения функционала, если , то f - допустимая функция), областью значений функционала является множество действительных чисел. Т. е. функционал – это функция, аргументами которой являются функции, принадлежащие некоторому множеству М (М – область определения функционала, если , то - допустимая функция), а областью значений функционала является множество действительных чисел.

Множество М – нормированное пространство. Норма элемента обозначается .

Нормой элемента , принадлежащего некоторому пространству, называется вычисляемое по определенному правилу неотрицательное число, удовлетворяющее следующим свойствам:

1). ≥ 0, = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

2). , где - число.

3).

Примеры норм:

- евклидова норма. (9)

Пространство с заданной на нем нормой (9) называется евклидовым пространством.

Если М – множество функций , непрерывных на отрезке то для любой функции норма определяется формулой

- банахова норма. (10)

Если на множестве М функций, непрерывных на задана банахова норма (10), то М – банахово пространство .

Если М – множество функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на то это банахово пространство с нормой

. (11)

В общем виде: банахово пространство n раз непрерывно дифференцируемых на функций имеет норму, определяемую по формуле

. (12)

Значение аргумента действительной функции действительного аргумента , где , называют точкой в пространстве .

Расстояние между точками в евклидовом пространстве определяется нормой (9)

По аналогии функции, являющиеся аргументами функционала, мы будем называть точками в банаховом пространстве, а расстояния между функциями вычислять по формулам (10), (11) или (12).

Линейным функционалом называется функционал, удовлетворяющий условиям:

(13)

Пример:

Пусть задано произвольное положительное число

Сильной - окрестностью функции называется множество функций , для которых .

Слабой - окрестностью функции называется множество функций , для которых .

Графическая иллюстрация понятий сильной и слабой - окрестности функции показана на рисунке 2.

Рис. 2. e - окрестности функции.

Из определения e - окрестностей ясно, что функция, попадающая в слабую e - окрестность, принадлежит и сильной e - окрестности.

Функционал , определенный на нормированном пространстве М, называется непрерывным в точке , если

такое, что .

Выберем некоторую функцию . Пусть - произвольная функция.

Разность

(14)

называется вариацией функции .

Отличие вариации функции от приращения функции : приращение функции есть разность двух значений функции, то есть - число, а вариация - функция,

Приращением функционала , определенного на нормированном пространстве , в точке называется величина, вычисляемая по формуле

Вариации функционала

Если приращение функционала можно представить в виде

где - линейный относительно функционал, - максимальное значение и при , то линейная по отношению к часть функционала называется первой вариацией функционала.

Можно дать и другое определение первой вариации функционала, используя представление функции с использованием формулы (14):

. (15)

В формуле (15) вариация функции представлена как , где - фиксированная функция, а a - числовой параметр (переменная величина).

При таком представлении вариации функции выражение является функцией числового параметра a, поэтому ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням a в окрестности точки a = 0:

где: - первая вариация функционала,

- вторая вариация функционала.

Замечание. В литературе часто вместо обозначения используют обозначение , чтобы отличать элемент (то есть функцию, являющуюся точкой в некотором пространстве М) от значения функции при фиксированном значении t (в этом случае ).