Функции случайных величин и их законы распределения

Пусть – дискретная случайная величина и – монотонная функция, тогда и .

Если – немонотонная функция, то для определения вероятности каждого возможного значения необходимо сложить вероятности всех возможных значений , при которых принимает это значение.

Пусть теперь – непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей . Если – непрерывная монотонно возрастающая функция, то существует однозначная обратная монотонно возрастающая функция . В этом случае имеем

Для непрерывной монотонно убывающей функции существует однозначная обратная монотонно убывающая функция и, соответственно,

Таким образом, если - монотонная дифференцируемая функция, то, плотность распределения вероятностей случайной величины определяется формулой

где – плотность распределения вероятностей случайной величины .

В случае немонотонной функции интервал возможных значений необходимо разбить на интервалы монотонности, найти плотности распределения вероятностей для каждого из интервалов монотонности и представить результирующую плотность распределения вероятностей в виде суммы

Пример 1. Пусть , тогда

Для непрерывной случайной величины , распределенной по нормальному закону , случайная величина также будет распределена по нормальному закону: . Действительно,

Пример 2. Пусть – непрерывная случайная величина, . В этом случае , при . Для имеем

Пусть - нормально распределенная случайная величина со стандартным законом распределения , тогда распределение случайной величины имеет вид

Пример 3 При моделировании технико-экономических показателей встречаются случайные величины, имеющие логарифмическое нормальное распределение. Найти это распределение.

Пусть – случайная величина, распределенная по нормальному закону . Тогда при и