Имеет место неравенство Маркова , из которого следует и далее неравенство Чебышева:
,
где - положительное число.
Неравенство Чебышева справедливо для любых случайных величин, имеющих дисперсию, не зависит от закона распределения случайной величины и может быть также представлено в виде
.
Если - независимые случайные величины, то согласно неравенству Чебышева имеем неравенство
,
приводящее далее к теореме Чебышева.
Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева): Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом : . Тогда для любого при равномерно по
.
Таким образом, среднее арифметическое случайных величин по вероятности сходится к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Следствие. Среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание , сходится по вероятности к математическому ожиданию , т. е. при любом положительном
|
|
.
Из теоремы Чебышева также следует теорема Бернулли.
Теорема Бернулли (закон больших чисел). Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то относительная частота появлений события по вероятности стремится к , т.е. при любом
.
Также имеют место центральные предельные теоремы.
Теорема 1. Пусть - попарно независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент , причем , , , , . Если , то при равномерно по
.
Теорема 2. Пусть - попарно независимые случайные величины, имеющие конечное математическое ожидание и конечную дисперсию , тогда при равномерно по
.
Следствие. Если - попарно независимые случайные величины, принимающие значение «1» с вероятностью и «0» с вероятностью , то при равномерно по
,
где , , – число успехов в опытах.
Из данного следствия вытекают локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Пусть , тогда при для любого действительного согласно центральной предельной теореме
,
где – функция распределения вероятностей стандартного нормального закона.
Данная сходимость функции распределения вероятностей суммы независимых случайных величин к нормальному закону объясняет широкое применение этого закона на практике.
Например, при измерении некоторого параметра погрешность измерения может складываться из большого числа случайных слагаемых, вызываемых независимыми причинами и имеющими неизвестные законы распределения. Согласно центральной предельной теореме суммарная погрешность измерения имеет закон распределения, близкий к нормальному закону. Поэтому при измерениях часто результирующую погрешность измерений оценивают с помощью нормального закона. Обычно это делают уже при .
|
|