Характеристическая функция и ее применение

Определение. Характеристической функцией одномерной случайной величины называется функция

,

где  - действительная переменная, .

Для дискретной случайной величины характеристическая функция равна

.

Непрерывная случайная величина  имеет характеристическую функцию

.

Для абсолютно интегрируемой характеристической функции  плотность распределения вероятностей равна

.

Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

1) ,                    2) .

3) Если  - характеристическая функция случайной величины , , то .

4) Если ,  - независимые случайные величины, то

.

Характеристическая функция позволяет находить относительно просто начальные моменты произвольного порядка.

Теорема. Если случайная величина  имеет начальный момент - го порядка, то ее характеристическая функция дифференцируема  раз  и .

Введем функцию . Тогда

,      

и, следовательно,

,   .

Определение. Производная - го порядка логарифма характеристической функции в точке , умноженная на , называется семиинвариантом - го порядка случайной величины :

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, характеристическая функция равна

.

     Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, имеет характеристическую функцию

.

Для случайной величины, непрерывно распределенной на интервале , характеристическая функция равна

.

Для биномиального закона распределения характеристическая функция равна

 .