Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани

Тема. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА

И ЕГО ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Вопросы темы:

Определение многогранника.

Основные элементы многогранников.

Правильные многогранники.

Решение задач.

Домашнее задание.

Вопрос 1. Определение многогранника

Дадим понятие многогранника как геометрической фигуры, составленной из плоских геометрических фигур:

Многогранник ( полиэдр: поли – много, эдр - грань ) – совокупность конечного числа плоских многоугольников, где:

1.  Каждая сторона любого из многоугольников это одновременно сторона другого многоугольника (но только одного многоугольника, который называем смежным с первым многоугольником именно по данной стороне);

От любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого другого многоугольника, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с другим, и т.д.

 

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:

– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;

– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником;

- от сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.

Дадим еще одно определение многогранника с точки зрения стереометрии, как объемной геометрической фигуре в пространстве.

 

Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В качестве примеров, рассмотрим два простейших вида многогранников:

 

1. Треугольная пирамида, которая носит название тетраэдр.

Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

 

Рис. 1

 

2. Четырехугольная призма, которая носит название параллелепипед.

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов:

АВСD, A1B1C1D1,

AA1D1D, BB1C1C,

AA1B1B, DD1C1C, (Рис. 2).

рис. 2

Вопрос 2. Основные элементы многогранников

 

Из выше приведенных определений многогранника можем сформулировать следующий вывод:

- многоугольники, составляющие многогранник, являются гранями многогранника;

- стороны многоугольников, составляющих многогранник, являются – ребрами многогранника;

- вершины многоугольников, составляющих многогранник, являются – вершинами многогранника.

 

Отсюда следует, что грани, ребра и вершины многогранника являются основными элементами многогранника:

Грань многогранника – это любой из многоугольников, составляющих многогранник.

Ребро многогранника – это любая из сторон грани многогранника.

Вершина многогранника – это точка пересечения соответствующих ребер многогранника.

 

Примерами многогранника являются призма и пирамида.

Рассмотрим, какими основными элементами характеризуются представленные в Вопросе 1 многогранники тетраэдр и параллелепипед.

1. Основные элементы тетраэдра ABCD

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

 

 

2. Основные элементы

параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁

 

Грани: параллелограммы

АА₁D₁D,   D₁DСС₁,   ВВ₁С₁С,   АА₁В₁В,  ABCD,   A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

Вопрос 3. Правильные многогранники

В вопросе «Правильные многогранники» открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами.

Ни одни геометрические тела не обладают такими совершенством и красотой, как правильные многогранники.

«Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Определение правильного многогранника:

Многогранник называется правильным, если:

1. Многогранник выпуклый;

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

2. Все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;

3. В каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;

4. Все его двугранные углы равны.

Существует пять различных типов правильных многогранников, название которых пришли из Древней Греции:

Эдра – грань; тетра – четыре, гекса – шесть; окта – восемь; додека – двенадцать; икоса – двадцать.

- правильный тетраэдр (четырехгранник),

- правильный гексаэдр (куб) (шестигранник),

- правильный октаэдр (восьмигранник),

- правильный додекаэдр (двенадцатигранник),

- правильный икосаэдр (двадцатигранник).

 

Соотношение числа граней (Г), числа ребер (Р) и числа вершин (В) правильного многогранника соответствует следующей формуле (формула Эйлера):

Г + В = Р + 2

 

Правильные многогранники (тела Платона) – это такие выпуклые многогранники, все грани которых одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные.

 

 

Рассмотрим эти многогранники:

Правильный тетраэдр