2020-05-25
164
Финансовые вычисления по облигациям: общие положения
Основные параметры облигации — дата покупки облигации (settlement date), дата погашения (redemption date), номинальная цена или номинал облигации (nominal value, face value, par value), цена погашения (redemption value), если она отличается от номинала (такая ситуация бывает, как правило, в случае нескольких дат погашения), годовой купонный доход (annual coupon), купонная процентная ставка (coupon rate), количество выплат купонов в году. По облигациям выплачивается купонный доход, а в конце срока происходит погашение номинала.
Введем обозначения основных параметров облигаций:
N — номинал облигации (nominal value, face value, par value). Выплачивается при погашении;
P — рыночная цена (price);
— курс облигации (quote, quoted price). Определяет текущую стоимость облигации в процентах от номинала;
g — годовая купонная процентная ставка (coupon rate) в процентах или десятичных долях;
— годовой купонный доход (annual coupon) в руб. Определяет суммарный годовой доход, выплаченный по купонам;
— текущая или купонная доходность (current, running yield);
|
|
|
i — полная доходность облигации (yield). Если владелец облигации держит ее вплоть до погашения в конце срока, то величина i показывает доходность к погашению (yield to maturity, yield to redemption). Буквой i будем обозначать также ставку дисконтирования.
Если облигация куплена по цене, равной номинальной, то говорят, что она куплена по номиналу; если облигация куплена по цене ниже номинала, то говорят, что она куплена с дисконтом; если по цене выше номинала — с премией (последнее не означает, что доход по такой облигации не может быть получен).
Доход, полученный за все время владения облигацией, складывается из купонных выплат и цены погашения облигации, выплачиваемой в конце срока владения (как правило, эта цена совпадает с номинальной ценой).
Обозначим через 
купонные доходы, полученные владельцем в течение владения облигацией. В конце срока облигация погашается по номиналу N. Сюда относятся выплаты по купонам и цена погашения облигации. Тогда современная (рыночная) стоимость облигации Р равна сумме всех дисконтированных доходов:
(1)
где i — доходность облигации к погашению.
Соотношение (1) связывает рыночную цену облигации с доходностью к погашению или со ставкой дисконтирования. Если будущие доходы известны, фиксированы, то соотношение (1) позволяет решать две основные задачи:
- определять цену облигации, если известна доходность (ставка дисконтирования),
- определять доходность облигации, если известна ее цена.
Как видно из (1), если будущие доходы по облигации фиксированы, то цена облигации тем выше, чем ниже ставка доходности. Таким образом, в зависимости от рыночных тенденций доходность облигации и цена изменяются в противоположных направлениях, т.е. при повышении рыночных процентных ставок цена облигации падает, и наоборот — при понижении рыночных процентных ставок цена облигации возрастает.
|
|
|
Бескупонные (дисконтные) облигации
Для облигаций такого типа устанавливается дата погашения и номинал. Купонный доход не начисляется и не выплачивается. Поэтому такие облигации называются бескупонными или облигациями с нулевым купоном {zero coupon bond).
Бескупонные облигации приносят доход только в том случае, если куплены по цене ниже номинала или, что то же самое, по курсу ниже 100. В связи с этим данные облигации называются также дисконтными.
Поскольку здесь только одна выплата — погашение номинала N, то цена облигации определяется:
(2)
где n — время владения облигацией (в годах) до момента погашения (величина n не обязательно целое число лет). Курс облигации определяется соотношением:
(3)
Если известна цена бескупонной облигации или ее курс, то доходность облигации к погашению (сложная доходность) равна:
(4)
Как видно из последнего соотношения, доходность облигации положительна, если цена облигации ниже номинала или курс меньше 100.
Если срок облигации меньше года или величины рыночных ставок невелики, доходность облигации определяют по простой процентной ставке (простая ставка доходности):
(5)
Последнее соотношение согласуется с общей идеологией простых процентных ставок: в числителе (5) стоит доход 
, полученный владельцем за весь период владения облигацией. Разделив доход на цену облигации, получим доходность за весь срок. Если теперь разделить последнюю доходность на срок n, то получится годовая доходность облигации.
Задача 1
Бескупонная облигация будет погашена через A лет и B месяцев, текущий курс облигации K – таблица ниже. Найти (сложную) доходность к погашению i.
| Вариант | Через сколько лет А и месяцев В будет погашена облигация | Текущий курс К облигации | Вариант | Через сколько лет А и месяцев В будет погашена облигация | Текущий курс К облигации | Вариант | Через сколько лет А и месяцев В будет погашена облигация | Текущий курс К облигации | |||
| A | B | A | B | A | B | ||||||
| 1 | 4 | 3 | 45,00 | 11 | 4 | 2 | 37,00 | 21 | 4 | 4 | 49,00 |
| 2 | 6 | 3 | 60,00 | 12 | 6 | 2 | 52,00 | 22 | 6 | 4 | 64,00 |
| 3 | 7 | 4 | 55,00 | 13 | 7 | 3 | 47,00 | 23 | 7 | 5 | 59,00 |
| 4 | 4 | 6 | 50,00 | 14 | 4 | 5 | 42,00 | 24 | 4 | 7 | 54,00 |
| 5 | 3 | 4 | 52,00 | 15 | 3 | 3 | 44,00 | 25 | 3 | 5 | 56,00 |
| 6 | 8 | 3 | 47,00 | 16 | 8 | 2 | 39,00 | 26 | 8 | 4 | 51,00 |
| 7 | 10 | 9 | 40,00 | 17 | 10 | 8 | 32,00 | 27 | 10 | 10 | 44,00 |
| 8 | 12 | 7 | 65,00 | 18 | 12 | 6 | 57,00 | 28 | 12 | 8 | 69,00 |
| 9 | 9 | 8 | 70,00 | 19 | 9 | 7 | 62,00 | 29 | 9 | 9 | 74,00 |
| 10 | 5 | 3 | 62,00 | 20 | 5 | 2 | 54,00 | 30 | 5 | 4 | 66,00 |
Задача 2
Найти доходность к погашению бескупонной облигации (сложную доходность), если рыночная цена сегодня — P руб., облигация погашается по номиналу N руб. через A лет В месяцев – таблица ниже. Какова простая ставка доходности по облигации?
| Вариант | Через сколько лет А и месяцев В будет погашена облигация | Рыночная цена P облигации, руб. | Номинал N облигации, руб. | Вариант | Через сколько лет А и месяцев В будет погашена облигация | Рыночная цена P облигации, руб. | Номинал N облигации, руб. | Вариант | Через сколько лет А и месяцев В будет погашена облигация | Рыночная цена P облигации, руб. | Номинал N облигации, руб. | |||||
| A | B | A | B | A | B | |||||||||||
| 1 | 2 | 2 | 790 | 1000 | 11 | 2 | 4 | 695 | 1000 | 21 | 2 | 5 | 840 | 1000 | ||
| 2 | 3 | 7 | 800 | 1000 | 12 | 3 | 9 | 705 | 1000 | 22 | 3 | 10 | 850 | 1000 | ||
| 3 | 2 | 8 | 850 | 1000 | 13 | 2 | 10 | 755 | 1000 | 23 | 2 | 11 | 900 | 1000 | ||
| 4 | 4 | 6 | 9000 | 10000 | 14 | 4 | 8 | 8040 | 10000 | 24 | 4 | 9 | 8550 | 10000 | ||
| 5
| 3 | 4 | 7600 | 10000 | 15 | 3 | 6 | 6640 | 10000 | 25 | 3 | 7 | 7150 | 10000 | ||
| 6 | 2 | 3 | 8100 | 10000 | 16 | 2 | 5 | 7140 | 10000 | 26 | 2 | 6 | 7650 | 10000 | ||
| 7 | 3 | 8 | 830 | 1000 | 17 | 3 | 10 | 735 | 1000 | 27 | 3 | 11 | 880 | 1000 | ||
| 8 | 4 | 6 | 9100 | 10000 | 18 | 4 | 8 | 8140 | 10000 | 28 | 4 | 9 | 8650 | 10000 | ||
| 9 | 3 | 4 | 750 | 1000 | 19 | 3 | 6 | 655 | 1000 | 29 | 3 | 7 | 800 | 1000 | ||
| 10 | 5 | 3 | 740 | 1000 | 20 | 5 | 5 | 645 | 1000 | 30 | 5 | 6 | 790 | 1000 | ||
Облигации с фиксированным купоном
В данном случае доход складывается из периодических купонных выплат и выплаты номинальной стоимости в конце срока. Доходы по купонам выплачиваются, как правило, один или два раза в год. Если выплаты купонов происходят ежегодно (один раз в год), то рыночная цена такой облигации равна:
, (6)
где С — годовой купонный доход (в рублях), N — номинал облигации (в рублях), п — срок облигации (в годах), i — доходность к погашению или ставка дисконтирования.
Задача 3
Срок облигации с фиксированным купоном равен n годам. Купонный доход выплачивается ежегодно по норме c% от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования равна i% – таблица ниже.
Указание. Сначала нужно вывести формулу для курса данного типа облигаций с использованием общей формулы для курса облигаций и формулы (6).
| Вариант | n, лет | с, % | i, % | Вариант | n, лет | с, % | i, % | Вариант | n, лет | с, % | i, % |
| 1 | 7 | 12,00 | 16,00 | 11 | 7 | 10,00 | 16,00 | 21 | 7 | 13,00 | 16,00 |
| 2 | 6 | 10,00 | 12,00 | 12 | 6 | 8,00 | 12,00 | 22 | 6 | 11,00 | 12,00 |
| 3 | 5 | 11,00 | 13,00 | 13 | 5 | 9,00 | 13,00 | 23 | 5 | 12,00 | 13,00 |
| 4 | 4 | 13,00 | 14,00 | 14 | 4 | 11,00 | 14,00 | 24 | 4 | 14,00 | 14,00 |
| 5 | 5 | 10,00 | 12,00 | 15 | 5 | 8,00 | 12,00 | 25 | 5 | 11,00 | 12,00 |
| 6 | 6 | 12,00 | 14,00 | 16 | 6 | 10,00 | 14,00 | 26 | 6 | 13,00 | 14,00 |
| 7 | 4 | 11,00 | 13,00 | 17 | 4 | 9,00 | 13,00 | 27 | 4 | 12,00 | 13,00 |
| 8 | 8 | 14,00 | 16,00 | 18 | 8 | 12,00 | 16,00 | 28 | 8 | 15,00 | 16,00 |
| 9 | 9 | 9,00 | 12,00 | 19 | 9 | 7,00 | 12,00 | 29 | 9 | 10,00 | 12,00 |
| 10 | 7 | 10,00 | 13,00 | 20 | 7 | 8,00 | 13,00 | 30 | 7 | 11,00 | 13,00 |
Акции, доходность акций
Доходы по акциям поступают в виде дивидендов. Кроме того, владелец акции может получить доход за счет изменения ее рыночной стоимости (если эта стоимость вырастет за период владения). Таким образом, доходность акции за некоторый период можно определить как
, (7)
|
|
|
где 
— цена акции в начале периода, 
— цена акции в конце периода, Div — суммарный дивидендный доход за данный период.
В расчетах в качестве ставки дисконтирования (требуемой доходности акции) часто используют среднеотраслевые показатели доходности.
Величина
(8)
называется дивидендной доходностью акции (аналогично величине купонной доходности облигации). Дивидендную доходность используют для экспресс-оценки доходности акций. Если в дальнейшем прогнозируется изменение дивидендов (допустим через год величина дивиденда составит 
,), то вводят понятие перспективной дивидендной доходности 
.
Задача 4
Цена акции в начале периода составляет P1 руб., в конце периода – P2 руб. Суммарный дивидендный доход за данный период – Divруб., дивидендный доход за последний год рассматриваемого периода равен divруб. – таблица ниже Определить доходность акции за рассматриваемый период, дивидендную доходность акции в конце рассматриваемого периода. Убыточны или прибыльны инвестиции в данную акцию на протяжении рассматриваемого периода?
| Вариант | P1 | P2 | Div | div | Вариант | P1 | P2 | Div | div | Вариант | P1 | P2 | Div | div |
| 1 | 100 | 120 | 10 | 4 | 11 | 100 | 135 | 10 | 3 | 21 | 100 | 110 | 11 | 4 |
| 2 | 120 | 90 | 12 | 4 | 12 | 120 | 105 | 12 | 3 | 22 | 120 | 80 | 13 | 4 |
| 3 | 150 | 170 | 20 | 3 | 13 | 150 | 185 | 20 | 2 | 23 | 150 | 160 | 21 | 3 |
| 4 | 120 | 80 | 15 | 5 | 14 | 120 | 95 | 15 | 4 | 24 | 120 | 70 | 16 | 5 |
| 5 | 120 | 180 | 12 | 4 | 15 | 120 | 195 | 12 | 3 | 25 | 120 | 170 | 13 | 4 |
| 6 | 110 | 150 | 11 | 3 | 16 | 110 | 165 | 11 | 2 | 26 | 110 | 140 | 12 | 3 |
| 7 | 110 | 95 | 0 | 0 | 17 | 110 | 110 | 0 | 0 | 27 | 110 | 85 | 1 | 0 |
| 8 | 95 | 135 | 13 | 4 | 18 | 95 | 150 | 13 | 3 | 28 | 95 | 125 | 14 | 4 |
| 9 | 135 | 100 | 5 | 2 | 19 | 135 | 115 | 5 | 1 | 29 | 135 | 90 | 6 | 2 |
| 10 | 100 | 135 | 12 | 3 | 20 | 100 | 150 | 12 | 2 | 30 | 100 | 125 | 13 | 3 |
