Примеры решения задач

1. Однослойная катушка (соленоид) имеет длину l и радиус сечения R. Число витков на единицу длины n. Найти индукцию магнитного поля в центре катушки при пропускании через нее тока I.

l I R n

Решение

Поле витка, находящегося на расстоянии х от центра катушки

(1)

B -?

где R – радиус сечения, μ₀ = 4p × 10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.

Тогда поле элемента dx длины соленоида

(2)

Поле в соленоиде

(3)

Проверка (3) на размерность:

Ответ: индукция магнитного поля в центре катушки .

2. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,015 Тл по окружности радиусом R = 10 см. Определить импульс р иона.

B = 0,015 Тл R = 10×10^-2 м

Решение

Ион движется по окружности под действием магнитной составляющей силы Лоренца. По II-му закону Ньютона

В проекции на нормаль

р -?

(1)

где а_n – нормальное ускорение

(2)

- скорость иона, R – радиус окружности.

(3)

где q – заряд иона, - его скорость, B – индукция магнитного поля.

Подставляя (2), (3) в (1), получим

. (4)

Импульс иона

р = , (5)

где m – масса иона.

Тогда, подставляя (5) в (6), получаем

(6)

Проверка (6) на размерность:

Вычисления:

р = 1,6 × 10^-19 × 0,015 × 0,1 = 2,403 × 10^-2 .

Ответ: импульс иона р = 2,403 × 10^-2 .

3. Постоянный ток I = 10 A течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Найти магнитный поток через одну из половин осевого сечения проводника в расчете на один метр его длины.

I = 10 A

Решение

Cчитаем, что ток распределен по сечению равномерно с плотностью

(1)

Ф / l -?

где I – ток в проводнике, R – радиус поперечного сечения проводника.

Согласно закону полного тока

, (2)

где - магнитная постоянная, r – радиус замкнутого контура.

Из (1), (2) получим

2p rB =

. (3)

Поток через половину сечения на единицу длины

(4)

Проверка (4) на размерность:

Вычисления:

Ф = .

Ответ: магнитный поток через одну из половин осевого сечения проводника в расчете на один метр его длины Ф = .

4. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости (рис.). Сопротивление рамки R, ее повернули на 180^о вокруг оси, отстоящей от проводника с током на расстоянии b. Найти количество электричества, протекшее в рамке.

I R a b

Решение

Индукция магнитного поля, создаваемого током прямолинейного проводника

(1)

q -?

где - магнитная постоянная, I – ток в проводнике, r – радиус поперечного сечения проводника.

Пусть ток течет «вверх», а нормаль к рамке направлена за плоскость рисунка. Начальный поток через рамку

. (2)

Конечный поток через рамку

. (3)

ЭДС индукции, возникающая в рамке при ее повороте

. (4)

По закону Ома для участка цепи

(5)

e - ЭДС индукции, R - сопротивление проводника.

Сила тока по определению

(6)

Подставляя (6) в (5) и получившийся результат в (4), имеем

. (7)

Подставляя (2), (3) в (7), окончательно получим

. (8)

Проверка (8) на размерность:

Ответ: количество электричества, протекшее в рамке, равно

5. В среде с магнитной проницаемостью μ₁ векторы В ₁ и Н ₁ направлены под углом α₁ к границе раздела со средой, имеющей магнитную проницаемость μ₂. Определить величину и направление векторов В ₂ и Н ₂ во второй среде.

	Решение
μ₁		Согласно условиям для векторов В и Н на границе раздела магнетиков проекции этих векторов на направления и связаны соотношениями (1)
В₁
Н₁
α₁
В ₂-?
Н ₂-?
α₂-?

В соответствии с условием задачи и рисунком

(2)

Из (1) и (2)

(3)

По проекциям и , и , находим модули векторов В ₂ и Н ₂:

(4)

Направления векторов В ₂ и Н ₂совпадают, так как оба магнетика однородные и изотропные. По (3) и рисунку

(5)

Размерности полученных величин совпадают с размерностями заданных в условии задачи.

Ответ: Величина магнитной индукции и напряжённости магнитного поля во втором магнетике составляют

и ,

вектор магнитной индукции во втором магнетике составляет с нормалью с границей раздела магнетиков угол .

6. В колебательный контур включён источник ЭДС с амплитудой
e ₀ = 10 В. Амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе U ₀ = 200 В. Определить добротность Q контура.

	Решение
e ₀ = 10 В	Амплитуда напряжения U ₀на конденсаторе связана с амплитудой тока I ₀в последовательной цепи 1 RLC 2 переменного тока соотношением . (1)
U ₀ = 200 В
Q -?

При резонансе , а полное сопротивление Z цепи 1 RLC 2 равно её активному сопротивлению R, т.е.

. (2)

Подставив в (1) и исключив из (1) и (2) I ₀, получим

. (3)

Так как , то . Величина добротности, очевидно, является безразмерной.

Вычисления:

Q= 20.

Ответ: добротность контура Q= 20.

7. В вакууме вдоль оси z распространяется плоская монохроматическая синусоидальная электромагнитная волна частоты ν = 50 МГц с амплитудой напряженности электрического поля Е ₀= 100 мВ/м. Определить интенсивность волны, амплитуду напряженности магнитного поля и амплитудное значение тока смещения.

	Решение
ν = 50 МГц	Амплитуды и колебаний векторовнапряженностей
Е ₀= 100 мВ/м	электрического Е и магнитного В полей в электромагнит-
I -?	ной волне связаны соотношением , где ε и
H ₀-?	μ – диэлектрическая и маг нитная проницаемости среды, в
-?	вакууме ε = 1, μ=1; ε₀ и μ₀ – электрическая и магнитная

постоянные. Отсюда

Интенсивность волны равна среднему значению вектора Пойнтинга

, т.е. .

Напряженность электрического поля гармонической монохроматической плоской волны , где – циклическая частота волны. Вектор электрического смещения . Током смещения называется величина . Тогда , и амплитудное значение тока смещения составит или .