Пусть
дробно-рациональная функция, у которой степень многочлена, стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе.
Обозначим полюсы их кратности.
Тогда
В частности, если все полюсы простые
Доказательство. Следует из второй теоремы разложения.
Квант 11.01.04.04. Оригинал дробно-рациональной функции с действительными коэффициентами (Т).
Пусть
дробно-рациональная функция, у которой степень многочлена, стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе и многочлены и имеют действительные коэффициенты.
Обозначим полюсы , лежащие на действительной оси, полюсы , лежащие в верхней полуплоскости.
Тогда
Доказательство. Пусть корень многочлена Т.к. многочлен имеет действительные коэффициенты, то
т.е. тоже корень многочлена . Корни многочлена с действительными коэффициентами попарно комплексно сопряжены. Значит каждому полюсу функции , лежащему в верхней полуплоскости соответствует полюс, лежащий в нижней полуплоскости (симметрично относительно действительной оси). Вычеты в комплексно сопряженных полюсах также будут комплексно сопряженными числами, а сумма комплексно сопряженных чисел равна удвоенной действительной части одного из них.
Пример.
С помощью первой теоремы разложения мы получили
Получим этот результат с помощью второй теоремы разложения.
Точка является существенно особой и для нахождения вычета в ней нужно найти коэффициент разложения Лорана.
Параграф 11.01.05. Предельные соотношения. Интеграл Дюамеля.
Квант 11.01.05.01. Связь начального значения оригинала и конечного значения изображения (Т).
Пусть и являются оригиналами.
Если существует
то
Доказательство.
Поскольку предел изображения при равен нулю (квант 11.01.02.02), то
Квант 11.01.05.02. Связь конечного значения оригинала и начального значения изображения (Т).
Пусть является оригиналом.
Если существует
то
Доказательство.
Переходя в этом равенстве к пределу при получим
Пример.