Квант 11.01.04.02. Вторая теорема разложения (Т)

Параграф 11.01.04. Теоремы разложения.

 

Квант 11.01.04.01. Первая теорема разложения (Т).

    Пусть  – аналитическая в окрестности бесконечно удаленной точки функция.

Если в этой окрестности она разлагается в ряд Лорана вида

то ее оригиналом будет функция

 

Доказательство.  

Поскольку

то  ограничена,  Тогда

аналитична в круге  и ограничена в замкнутом круге,

 Поэтому, для коэффициентов  имеем оценку

Тогда для любого комплексного  получаем

Это значит, что ряд

сходится во всей комплексной плоскости, т.е. , как функция комплексного переменного , является целой аналитической функцией и для  удовлетворяет неравенству

т.е.  является оригиналом. Умножая  на  и интегрируя почленно равномерно сходящийся ряд, получим

 

Пример.

Выразим  через известные функции. Для этого сделаем замену переменной

Здесь

функция Бесселя первого рода порядка  Их графики для  и

 

Таким образом

 

в частности при

 

Замечание.

Первую теорему разложения можно обобщить:

Если в полуплоскости

Квант 11.01.04.02. Вторая теорема разложения (Т).

    Пусть  –функция комплексного переменного .

 

Если функция :

аналитична в полуплоскости   и имеет в оставшейся части плоскости конечное или счетное множество изолированных особых точек;

существует система окружностей (не проходящих через особые точки)

,   на которой

   равномерно относительно    , т.е.

      для любого a  абсолютно сходится интеграл

то оригиналом   будет функция

где сумма берется по всем особым точкам функции   в порядке неубывания их модулей.

 

Доказательство.  

При выполнении условий теоремы функция  является изображением оригинала , который находится с помощью формулы обращения (кванты 11.01.02.04 и 11.01.02.05)

Этот интеграл можно вычислить с помощью основной теоремы о вычетах, т.к. условия  теоремы обеспечивают возможность применения леммы Жордана.

Пусть  Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка прямой  и дуги окружности , расположенной слева от прямой , которую обозначим  Внутри этого контура лежит конечное число особых точек  функции  и по основной теореме о вычетах

где замкнутый контур обходится против часовой стрелки. Переходя в этом равенстве к пределу при  (тогда , получим

 

т.к. интеграл по  в силу леммы Жордана стремится к нулю.

Пусть теперь  Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка прямой  и дуги окружности , расположенной справа от прямой , которую обозначим  Внутри этого контура нет особых точек функции  и по основной теореме о вычетах

где замкнутый контур обходится по часовой стрелке. Переходя в этом равенстве к пределу при  (тогда , получим

 

т.к. интеграл по  в силу леммы Жордана стремится к нулю.

Таким образом

   

Замечание.

  Если известно, что функция , удовлетворяющая условию  теоремы, имеет оригинал  , то он находится по формуле обращения. Интеграл в этой формуле можно вычислить с помощью вычетов, если выполняется условие  теоремы (условие леммы Жордана). При этом условие  теоремы может и не выполняться, оно является достаточным условием существования оригинала, но не является необходимым условием.

  Например, известно, что функция  имеет оригинал  и выполняется условие леммы Жордана (условие  теоремы):

, поэтому вторая теорема разложения применима, хотя условие  этой теоремы и не выполняется:

По второй теореме разложения:

  Вообще, если  - правильная рациональная дробь (степень многочлена  меньше степени многочлена  ), то она всегда имеет оригинал, так как ее всегда можно разложить на сумму простейших дробей вида

Поэтому к правильной рациональной дроби всегда применима вторая теорема разложения (условия  этой теоремы выполняются), хотя условие , если степень  только на единицу меньше степени  и не выполняется как в предыдущем примере.