Квант 11.01.06.02. Применение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений (Т)

  Рассмотрим задачу Коши для ЛНДУ го порядка с постоянными действительными коэффициентами

и нулевыми начальными условиями

Будем считать, что правая часть , искомая функция  и ее производные до го порядка включительно являются оригиналами.

 

Если известно решение  соответствующей задачи Коши с правой частью равной единице (функции Хевисайда):

  то решение исходной задачи Коши записывается в виде свертки

 

или

Доказательство.

Операторные уравнения исходной задачи Коши с правой частью  и задачи Коши с правой частью  будут иметь вид

и

соответственно. Имеем

Применяя интеграл Дюамеля (квант 11.01.05.03), получим доказываемые формулы.

 

Пример.

Решить задачу Коши

Найдем решение задачи Коши с единицей в правой части уравнения

Применим преобразование Лапласа, получим операторное уравнение

Его решением является функция

Ее оригиналом будет

Решение исходной задачи Коши получаем с помощью интеграла Дюамеля

или

Квант 11.01.06.03. Операционный метод решения задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений.

    Рассмотрим задачу Коши для системы  ЛНДУ 2 го порядка с постоянными действительными коэффициентами

и произвольными начальными условиями

 

Применим преобразование Лапласа

Вместо системы дифференциальных уравнений с начальными условиями получим операторную систему линейных алгебраических уравнений

 

Решив эту систему, найдем ,

  Тогда решением задачи Коши будут оригиналы

Пример.

Решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Сделать проверку.

Решение.

Применяем преобразование Лапласа.

 

Решаем полученную линейную систему уравнений.

Разлагаем на простейшие дроби

Оригиналы найдем по таблице

Проверка: