2020-05-25
186
Функция Г -распределения определяется двумя параметрами: – средний интервал времени между двумя соседними заявками поступления заявок 
, и 
– величина, обратная квадрату коэффициента вариации распределения интервалов между заявками (1). Кроме того, используется параметр средней интенсивности (2).
(1)
(2)
(3)
Данная функция используется так как экспоненциальное распределение является частным случаем Г -распределения (при 
=1). А также, главное, что функция 
получается из функции 
(3) простым умножением показателя η на величину n. Следовательно, исходное выражение для функции (4) с учетом (5), примет вид (6).
(4)
(5)
(6)
Введем переменную 
и получим окончательно формулу (7).
(7)
Такая аппроксимация позволяет анализировать уже не только экспоненциальные входные потоки, но и потоки, с самыми различными коэффициентами вариации интервалов. На рис. 1 показано семейство функций распределения вероятностей при различных значениях коэффициента ( – величина, обратная квадрату коэффициента вариации 
).
Рис. 1. Семейство образующих функций 
.
Чем меньше коэффициент , тем круче идут графики указанных функций.
Зная эти функции, мы легко можем вычислять вероятности появления n событий на интервале τ (8) и (9).
(8)
(9)
При экспоненциальном распределении (коэффициент η=1) получаем закон Пуассона в его обычном виде.
Указанное соотношение это в интегральной форме обобщенный закон Пуассона, где мы получаем вероятность появления n событий на интервале τ при заданных значениях параметров Г-распределения.
Рис. 2. Вероятности Pn для различных η
На рис. 2. показаны вероятности попадания n – событий в узкий временной интервал, соответствующий выражению (10).
(10)
Для экспоненциального потока (η=1) вероятность попадания двух или более событии в указанный интервал крайне мала. В то же время, вероятность попадания двух событии для потока с коэффициентом вариации 2 =5 (η=0.2) значительно выше, и соответствует 0.2. Это может вызвать появление очередей. На рис. 3. показаны графики очередей q(), в зависимости от коэффициента загрузки для различных значений коэффициентов вариации 2 потоков, имеющих Г- распределение интервалов между заявками.
Рис. 3. Очереди.
Мы видим, что при экспоненциальном входном потоке существенное возрастание очереди происходит при коэффициенте загрузки, равном 0.9, в то время, как для потока v 2 =5, аналогичного значения длина очереди достигает уже при коэффициенте загрузки λτ = 0.1.
Билет№9
