2020-05-25
94
Исходя из своего предназначения, описанные в (6) параметры могут быть интерпретированы как настройки фильтра. Необходимо подобрать корректные значения для ковариационных матриц, чтобы получить наиболее точные оценки каждой из компонент вектора параметров. Опытным путём были подобраны следующие значения для 
и 
:
= 
,
.
Одним из критериев подбора значений для ковариационных матриц является то, что евклидовых норм (норм Фробениуса) должны примерно совпадать. При расчёте значение нормы для составило 0.8079, для = 0.8000.
В начальной версии алгоритма интересует только оценка компонента амплитуды, для этого были выставлены соответствующие настройки фильтра: значения дисперсии шума наблюдения и дисперсии шума системы. В результате фильтрации была получена оценка амплитуды сигнала. По графику, представленному на рис.2, можно визуально оценить, что значения оценки амплитуды близки к истинным значениям амплитуды.
Рис.4. Результаты оценивания амплитуды фильтром для смоделированного сигнала[НБ6]
На графике (рис.4.) синим цветом обозначен смоделированный сигнал, жёлтым – априорные значения амплитуды, красным – спрогнозированные значения амплитуды.
Далее было проведено прогнозирование остальных компонент смоделированного сигнала – фона и начальной фазы. Полученные выше значения для ковариационных матриц были применены для алгоритма, в результате чего были получены результаты, представленные на рис.5. Был смоделирован сигнал, априорное значение τ для которого равно 7. Красным цветом обозначен исходный сигнал, синим - значения оценки каждой компоненты.
Рис. 5. График результатов работы фильтра Калмана при подобранных настройках фильтра[НБ7]
При рассмотрении рисунка 4 видно, что при подобранных настройках фильтр показал удовлетворительные результаты: оценки фона и амплитуды визуально близки к истинным значениям фона и амплитуды, а значения оценки фазовой компоненты должны находиться в диапазоне от -2π до 2 
: в данном случае они находятся в диапазоне приблизительно от -0.02 до 0.02.
Для выполнения основной задачи данной работы, заключающейся в проверке работоспособности фильтра при различных значениях количества отсчетов на период сигнала, удовлетворяющих и не удовлетворяющих критерию Найквиста, в вектор параметров 
необходимо ввести четвёртую компоненту для оценки параметра сигнала τ. В таком случае вектор параметров будет представлен в следующем виде:
. (8)
При этом, определённые компоненты алгоритма должны быть расширены путём добавления нового параметра τ: ковариационная матрица шума ошибок теперь содержит дисперсию оценки компоненты количества отсчетов на период и приобретает следующий вид:
= 
. (9)
Также в матрицу H, определённую в уравнении (4), добавляется производная исходного сигнала по четвёртому параметру:
. (10)[НБ8]
Рис. 6. График результатов работы фильтра Калмана после введения нового оцениваемого параметра[НБ9]
Визуально по представленному на рис. 5 графику также можно сделать вывод, что при текущих настройках фильтр успешно справляется со своей задачей. Нижний график оценки компоненты периода показывает, что значения оценки периода имеют погрешность не более 0.2 относительно истинного значения периода. Также наибольшие отклонения находятся примерно со 150-ого по 200-ый отсчёт - там, где находится информативная часть сигнала.
Далее был смоделирован сигнал, не удовлетворяющий критерию Найквиста. Количество отсчётов на период сигнала равно 1.8. Алгоритм был запущен, с использованием аналогичных настроек.
Рис. 7. Результаты работы фильтра Калмана для сигнала, не удовлетворяющего критерию Найквиста
Как видно, текущие настройки фильтра оказались приемлемыми также для сигнала, у которого количество отсчётов на период меньше двух. В первой главе было сделано наблюдение, что для данной модели интерферометрического сигнала уменьшение количества отсчётов на период до несоблюдения критерия Найквиста приводит к тому, что сигнал начинает содержать в себе кратную частоту, что в итоге не влияет в целом на результаты работы фильтра.
Выводы по главе 1
При моделировании и сравнении двух сигналов, для которых данный параметр соответствует критерию Найквиста и не соответствует ему, выяснилось, что при описанной модели сигнал априорно не будет содержать количество отсчётов на период меньше, чем два, при этом он начнёт выходить на кратную частоту - это означает, что фактическое количество отсчётов на период будет в 2 раза больше. Была рассмотрена модель расширенного фильтра Калмана, в частности, все его основные параметры и то, как происходит прогнозирование компонент интерферометрического сигнала путём расчёта основных параметров фильтра. Определено, какие параметры алгоритма отвечают за настройки фильтра, вследствие чего опытным путём были подобраны корректные значения для данных параметров. Далее параметры алгоритма были расширены путём добавления компоненты, определяющей количество отсчётов на период сигнала, так как при моделировании сигналов с различной частотой оценка данного параметра должна рассчитываться фильтром. Были смоделированы сигналы с различной частотой, удовлетворяющие критерию Найквиста и не удовлетворяющие ему, для которых был запущен реализованный алгоритм фильтра Калмана. Визуально результаты работы реализованного алгоритма фильтра Калмана для смоделированных сигналов с различной частотой указывают на то, что подобранные настройки фильтра корректны для сигналов с различной частотой. Также можно сделать вывод о том, что сигнал с количеством отсчётов на период меньше двух, преобразующийся к кратной частоте, не влияет на результаты работы фильтра.
