Монотонные последовательности

Последовательность (х_n) называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х_n+1 > х_n.

Последовательность (х_n) называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х_n+1 < х_n.

 

Последовательность (х_n) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не более предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х_n+1 ≤ х_n.

Последовательность (х_n) называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х_n+1 ≥ х_n.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим для числовые последовательности – (у_n) и (x_n).

(у_n): 1, 3,5, 7, 9, … 2n – 1, …;

(x_n): 1,

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

У

 

0 0,25 0,5 1

Замечаем, что члены последовательности (x_n) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся, а у последовательности (у_n) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится.

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом последовательности (у_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так: у_n→b или читают так: предел последовательности у_n при стремлении n к бесконечности равен b.

На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у_n = f(_n) сходится к числу b, то выполняется приближенное равенство f(_n)≈b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)