Теоретические сведения

Схема маятника Обербека изображена на рис. 5.1. Он представляет собой крестовину из четырех стержней 1 одинаковой длины и массы, вдоль которых могут перемещаться грузы 2, крепящиеся к стержням винтами 3. Стержни закреплены на втулке, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси О. На втулке имеется двухступенчатый диск 4 с намотанной на нем тонкой легкой нерастяжимой нитью, к свободному концу которой привязан груз 5.

Если дать возможность грузу опускаться, то крестовина начнет вращаться по законам динамики вращательного движения. Обозначим через J момент инерции маятника Обербека, через m – массу груза 5, через r – радиус диска 4.

Согласно основному закону динамики вращательного движения:

(5.1)

где М - момент внешних сил относительно оси вращения; ε - угловое ускорение; J - момент инерции относительно оси вращения.

Одной из задач данной работы является проверка соотношения (5.1), которую можно осуществлять с помощью экспериментальной установки маятника Обербека.

Соотношение (5.1) можно проверить двумя способами:

Способ

Если момент сил, действующих на крестовину, не меняется (М = const), то в этом случае и J ·ε=const, то есть при изменении момента инерции можно записать:

(5.2)

или

где J ₁, J ₂ - моменты инерции маятника при различных грузах на стержнях.

Пусть момент инерции маятника без грузиков J ₁, момент инерции с грузиками J ₂, тогда можно записать:

(5.3)

где m₂R ² - момент инерции одного груза на стержне крестовины;

J ₀ - момент инерции без грузиков и стержней крестовины;

m₁ l ²/3 - момент инерции одного стержня длиной l относительно оси вращения.

С учетом (5.3) выражение (5.2) принимает вид:

(5.4)

Угловое ускорение маятника ε связана с линейным ускорением грузила, подвешенного к нити, соотношением:

(5.5)

где r - радиус диска, на который намотана нить;

h - путь, пройденный ускоренно движущимся грузом m, подвешенным к нити;

t - время, за которое грузик проходит путь h. Тогда

(5.6)

Выражение (5.4) с учетом результата (5.6) принимает вид:

(5.7)

Соотношение (5.7) позволяет проверить справедливость (5.2).

Способ

Если момент инерции крестовины не меняется (J = const), то в этом случая J ε₁ =M₁, J ε₂ = M₂, то есть

(5.8)

Если учесть, что M=F_H· r, где F_H - сила натяжения нити; r - радиус шкива, (5.8) можно записать в виде:

(5.9)

Из уравнения движения грузила, подвешенного к нити, можно найти натяжение нити

(5.10)

где m - масса груза, подвешенного к нити. С учетом (5.10) и (5.6), для выражения (5.9) имеем:

(5.11)

Убедившись в справедливости равенства (5.11), можем получить еще одно подтверждение справедливости равенства (5.1).

Моментом инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы m на квадрат расстояния r до этой оси: J = m r ².

Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек тела относительно оси:

Момент инерции характеризует меру инертности тела к изменению ним угловой скорости ω под действием момента силы М.

Из соотношения (5.1) следует, что момент инерции равен:

(5.12)

Если в (5.12) подставить (5.5) и (5.10), получим:

(5.13)

Получается, значение момента инерции крестовины может быть рассчитано по экспериментальными данными измеряемых величин: t, r, h, m ₂. Его можно сравнить со значением, полученным из теоретического определения момента инерции:

(5.13)