Теоретические сведения

 

Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t, а затем из формулы  вычислить g.

В действительности дело обстоит не так просто, если требуется определить g достаточно точно. Определим время  падения с высоты м при g, равном 9,8 м/с²:

.

По нашей оценке при проведении такого эксперимента необходимо измерять время с точностью до 0,01 с. Оценим разброс для t ₁=0,44 с; t ₂=0,45 с; t ₃=0,46 с по формуле :

Понятно, что измерить время с точностью до 0,01с не просто. Наручные часы или спортивный секундомер для такой цели непригодны.

Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Так, при h =5м время падения будет 1 с, а при h =20 м – 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, например 0,01 с, но возникает ошибка другого характера.

Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль. Формула  описывает равноускоренное движение и, конечно, не учитывает сопротивления воздуха. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность измерения времени, но при этом вносим другую ошибку: сама формула  становится неточной. Более того, если кирпич сбросить с высоты h =500 м, то пример но первые 200 м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости примерно 70 м/с) и тело остальные 300 м будет падать с постоянной скоростью . В этом случае формула  становится неверной. Этот простой пример наглядно подчеркивает общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность измерений какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем, насколько точно принятая модель описывает данный опыт. В рассматриваемом нами опыте мы видим, что точность измерения ускорения g связана не только с точностью измерения времени t. но и с тем, можно или нет пренебречь трением о воздух. Иными словами, достаточно точно или нет описывает формула  движение тела. Трудности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама формула  не точна.

Уменьшить  ускорение  можно  с  помощью  устройства, которое называют машиной Атвуда (рис. 7.1).

Через блок перекинута нить, на которой закреплены грузы массой М каждый. На один из грузов кладется перегрузок массой m. Ускорение грузов легко найти, если ввести два предположения (выбрать модель!):

1) блок и нить невесомы, т. е. их массы равны нулю;

2) трением тела о воздух и трением между блоком и его осью можно пренебречь.

С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид

                                                        (7.1)

где Т – сила натяжения нитей, а – ускорение грузов. Из уравнений (7.1) получаем

                                         (7.2)

где .

Время, за которое груз опускается на высоту , равно

                                                      (7.3)

Формально из выражения (7.3) следует, что время падения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшить . Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой m = 1 г, то , а время спуска груза с высоты h = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт невыполним. Мы предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно ли им пренебречь или нет.

Если подвести к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше сила трения. Значит, необходимо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.

Сделаем теперь количественные оценки. Пусть  – масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меньшей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения М _тр в оси блока:

       ,                          (7.4)

где  и  – силы натяжения нитей, R радиус блока (рис. 7.2).

Момент силы трения в оси блока , где  – сила трения между блоком и осью,  – радиус оси.

Сила трения  между блоком и осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда

.

где  – коэффициент трения между блоком и осью, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей втулки блока и оси, смазки и т.п. Таким образом, момент силы трения в оси блока

                                        (7.5)

Обозначим . Подставим (7.5) в (7.4):

.                                                (7.6)

Как видно из (7.6), значение  не может быть сколь угодно малым. Оно определяется конструкцией блока (например, его радиусами R и r) и коэффициентом трения между блоком и осью.

Так как в машине Атвуда m ₀<< M, то ε₀<<1 и

.

Типичное значение коэффициента трения µ~10^-2÷10^-1. На наших установках . Таким образом,  Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть . Существенно то, что  можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой М = 86 г перегрузок массой 1 г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что

В таком случае оценить , характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 10^–2. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка m >> m₀.

Действительно, если масса перегрузка чуть больше , то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение, уже не будет равноускоренным. Может, даже случиться, что система будет двигаться рывками, т.е. остановится, затем снова придет в движение и т.д.

Таким образом, при , т.е. при , формула (7.2) становится неверной. Можно ожидать, что при ε << ε₀ она достаточно точно описывает реальную ситуацию. Так как , то оптимальное значение ε~10^-1. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5–20г (при М =86 г). Если взять ε~1, то a ~ g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.

Можно показать, (см. контрольный вопрос 2), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна

                                                                                                        (7.7)

где  – масса блока.

Так как величины  и  одного и того же порядка , то и относительная погрешность при измерении ускорения  Очевидно, что такого же порядка будет и относительная погрешность при измерении g.

 

 

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

 

 

В первую очередь необходимо определить минимальную массу перегрузка m₀, страгивающего блок, с тем чтобы в дальнейшем проводить измерения с грузами, в 5–10 раз превышающими по массе m₀. Только в этом случае можно пренебречь влиянием трения на движение системы. Не следует стремиться определить m₀ точно, достаточно получить ее правильную оценку «сверху», например выяснить, что m₀ не превышает 1 г или 2 г. Для определения m₀ можно постепенно увеличивать массу перегрузка, пока блок не придет в движение. Так как блок не может быть отцентрирован идеально, то может оказаться, что в различных начальных положениях блока, массы страгивающего перегрузка различны. Поэтому нужно повторить измерения m₀ в разных положениях блока, а затем, в качестве оценки для m₀, взять наибольшее из найденных значений.

Следует убедиться, что движение системы при достаточно большой фиксированной массе перегрузка m >> m₀ является равноускоренным. Для этого нужно экспериментально проверить выполнение зависимости . Удобно переписать это соотношение в виде

из которого ясно, что в осях координат ,  прямая , проходящая через начало координат, соответствует равноускоренному движению.

Прямая  может быть построена по экспериментальным точкам: для одного перегрузка  и ряда различных значений высоты  измеряется время падения груза. Измерение времени для каждой высоты производятся несколько раз, результаты усредняются и записываются в виде

где  – среднее арифметическое значение измеренного времени падения для данной высоты. В условиях эксперимента погрешность  оказывается заметно превышающей погрешность в показаниях электронного миллисекундомера , а именно:

Поэтому было бы грубой ошибкой считать, что погрешностью определения времени падения равна

Для построения графика на оси ординат откладываются измеренные значения  с указанием погрешности

.

где  – число измерений,  результат го измерения.

На оси абсцисс откладывается . Если полученные экспериментальные точки ложатся на прямую, то движение тела можно считать равноускоренным.

Наконец, важно выяснить, подтверждается ли на опыте зависимость времени падения от массы m перегрузка [см. (7.2)]:

                                                              (7.8)

В осях координат  функция  является уравнением прямой. Зависимость  при фиксированной высоте падения h может быть построена по экспериментальным точкам: для нескольких значений массы перегрузка определяется время падения .

Измерение времени падения при каждом m повторяют несколько раз, результаты усредняют и находят среднее значение  и разброс . Полученные экспериментальные данные откладываются на осях координат: на оси ординат – значения  с указанием погрешности , на оси абсцисс – соответствующие значения , затем через полученные точки проводится прямая, и по ее наклону определяется значение g.