Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Из «А» в «В» одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в «В» одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость первого автомобилиста за км/ч. Расстояние, которое он проезжает от пункта «А» до пункта «В» S(км). Значит время, затраченное им на дорогу (ч).

Скорость второго на первой половине на 13 км/ч меньше, то есть (км/ч). На второй половине пути 78 км/ч, значит время, затраченное им на дорогу

Заполним в таблицу:

	v		t	S
	1 половина	2 половина
1				S
2		78		S

Известно, что в пункт «В» они прибыли одновременно, то есть затратили одинаковое время:

Примечание: в таблице мы записали путь как S. Можно было записать 1, это можно делать, когда не задана длина пути. Суть не меняется (1путь) или (S км) не важно. В уравнении эта величина сократится:

Получили два решения 52 (км/ч) и 39 (км/ч). Но в условии сказано, что искомая скорость больше 48(км/ч).

Ответ: 52

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из «А» в «В» равна х.

Тогда его скорость на обратном пути равна х +7.

Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое: 98 километров. Осталось записать время. на путь из «А» в «В» велосипедист затратит время , а на обратный путь время

	v	t	S
туда			98
обратно	+7		98

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 7 часов и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из «А» в «В». Это значит, что на обратном пути он крутил педали (находился в движении) на 7 часов меньше.

Значит, на семь меньше, чем . Получается уравнение:

Или можно рассудить так: велосипедист на обратный путь затратил
часов и ещё 7 часов простоял. Очевидно, что уравнение будет иметь вышеуказанный вид.

D=441

Скорость величина положительная, значит скорость велосипедиста из А в В равна 7 (км/ч).

Ответ: 7

Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость второго велосипедиста за х. Тогда скорость первого равна х +3. Расстояние оба проехали одинаковое — 88 километров. Осталось записать время.

Поскольку , первый затратит = часов, а второй часов.

	v	t	S
1			88
2			88

Сказано, что первый прибыл на три часа раньше, то есть он затратил время на движение и ещё три часа ожидал, пока прибудет второй. Значит время, затраченное первым на передвижение плюс три часа ожидания второго, равно времени нахождения в пути второго.

Можно рассудить по-другому: выражение «первый прибыл на три часа раньше», означает, что он затратил на пробег на три часа меньше, чем второй. То есть на 3, или

Умножаем левую и правую части на .

Приводим его к квадратному, получим

Решаем его, получим:

D=361

это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 8

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 1 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость первого теплохода за . Тогда скорость второго теплохода равна .

Расстояние оба проехали одинаковое — 420 километров. Осталось записать время.

Поскольку , первый затратит часов, а второй часов.

	v	t	S
1			420
2			420

Сказано, что через час после отправления первого, в путь отправился второй, то есть он затратил время на движение на час меньше.

Умножаем левую и правую части на .

Приводим к квадратному, получим

Решаем его:

Скорость теплохода должна быть положительна, значит, она равна (км/ч).

Ответ: 20

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать.

При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа меньше, чем . Да это и логично, что время на движение по течению затрачивается меньше.

	v	t	S
По течению			255
Против течения			255

Условие на два часа меньше, чем можно записать в виде .

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но, конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

От предыдущей эта задача отличается только тем, что нужно найти скорость течения, при известной скорости теплохода. Ход рассуждения тот же.

Скорость течения реки как искомую величину принимаем за x(км/ч). Тогда скорость движения теплохода по течению равна , а его скорость против течения .

Расстояние в ту, и в другую сторону одинаковое и равно 216 км.

Всего теплоход затрачивает 36 часов (на весь путь: туда, 6 часов стоянки, обратно).

То есть 36 = время движения по течению + стоянка + время движения против течения.

Занесем скорость и расстояние в таблицу. Заполняем графу «время».

Время, затраченное на путь до пункта назначения ,

Время, затраченное на путь обратно (против течения) .

	v	t	S
По течению			216
Против течения			216

Подставляем данные и получаем уравнение:

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — раскрываем скобки, складываем подобные члены.

Получаем квадратное уравнение:

Поскольку скорость течения положительна, получаем: (км/ч).

Ответ: 3

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Принимаем искомую величину, то есть время, через которое автомобили встретятся за х. В данной задаче проще производить сравнение по расстоянию. Составим таблицу и найдём «расстояние», которое проехал каждый автомобиль.

	v	t	S
1		x	65x
2		x	75 x

Один проехал до места встречи 65х км, другой 75х км. По условию расстояние между городами 560 км. Значит, сумма пройденных расстояний будет равна 560 км.

Автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4

Задачи на работу

Еще один тип задач — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы:

Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, Вася красит забор. Количество метров, которые он красит за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу.

1. , то есть работа = производительность время. Из этой формулы легко найти t или p.

2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар. А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды — работа как раз и равна этому количеству.

3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

4. В качестве переменной удобно взять именно производительность. Так же, как в задах на движение мы за принимаем скорость.

Вы убедитесь, что задачи на работу и движение очень схожи.

РЕШИМ ЗАДАЧИ:

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем её за . Тогда производительность первого рабочего равна (он делает на одну деталь в час больше).

Поскольку , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

	p	t	A
1 рабочий			110
2 рабочий			110

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1 час меньше, чем второй, то есть на 1 меньше, чем , значит

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

D=441

Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной величиной. Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10

На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Данная задача практически не отличается от предыдущей, разница лишь в объёме работы. Примем производительность второго рабочего за .

Тогда производительность первого рабочего равна (он делает в час на одну деталь больше). Заполним графу «время» в таблице:

	p	t	A
1 рабочий			99
2 рабочий			110

Сравнение будем проводить по времени. Сказано, что первый затрачивает на 2 часа меньше, чем второй. Значит

D=961

Второй рабочий в час делает 10 деталей.

Ответ: 10

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Примем производительность первой трубы за (литров в минуту). Тогда производительность второй трубы равна . Работа это объём резервуара – 192 литра. Заполним графу «время» в таблице:

	p	t	A
1 труба			192
2 труба			192

Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. То есть времени уходит больше

D=784