2020-05-21
109
Метод простых итераций
Классический метод
Исходное уравнение f(x)=0 всегда можно преобразовать к равносильному уравнению, прибавив к обеим его частям х
х = j(х) (2)
Пусть известно начальное приближение к корню х = x0, тогда подставим его в правую часть уравнения (2) и получим новое приближение x1 = j(х0), затем аналогичным образом получим x2 = j(х1) и так далее. Таким образом, итерационное уравнение метода простых итераций имеет вид:
xk+1 = j(хk) (3)
Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс (3) будет сходиться к корню уравнения х*.
Построим графики двух функций:
y1(x)=x
y2(x)=j(x)
Координаты пересечения графиков этих функций и дадут корень исходного уравнения (1) х*.
Рисунок. 4. Метод простых итераций:
а - сходящийся процесс (
);
б - расходящийся процесс (
).
Рассмотрим процесс графически (рис.4). Из графиков видно, что возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, должно выполняться условие
|
|
|
(4)
Очевидно, классический метод не всегда обладает сходимостью, поэтому потребовалось его усовершенствование.
Усовершенствованный метод итераций
Умножим левую и правую части уравнения (1) на произвольную константу 
и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения 
не изменятся, где
(5 )
Надлежащий выбор константы 
позволит обеспечить выполнение условия сходимости (4). Необходимо выбрать величину такой, чтобы 
.
Если функция j(х) выбрана в виде (5), то ее производная по х будет
j’(х) = 1 + f’(х)
Т.е. условие (4) имеет вид 
или
или
Поэтому константу необходимо выбирать из следующих условий:
А) если f’(х)>0
-2/f’(х*)< <0
Б) если f’(х)<0
0< <-2/f’(х*)
Наибольшую скорость сходимости получим при j’(х*)= 0, тогда
= -1/f’(х*). Здесь х*-точка максимального значения модуля производной 
.
Рисунок 5. Алгоритм решения методом простых итераций
Метод итераций обладает более высокой скоростью сходимости по сравнению с методом половинного деления.
