2020-05-21
74
Алгоритм Ньютона можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора левой части уравнения f(x) вблизи корня xk.
f(х) = f'(xk)(x- xk)+ f(xk)+…
Пренебрегая членами второго и более высоких порядков и из условия, чтобы в результате следующей итерации функция была равна нулю:
f(xk+1)=0
получим уравнение f(xk+1) = f'(xk)(xk+1- xk)+ f(xk)=0
Отсюда 
.
Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис. 6). Предположим, что графическим методом определено начальное приближение х0 к корню. В точке x0 вычислим левую часть решаемого уравнения f0 = f(x0), а также производную в этой точке f'(x0) =tga. Следующее приближение к корню найдем в точке x1 где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x0, f0), пересекает ось абсцисс. Затем считаем точку х1 в качестве начальной и продолжаем итерационный процесс. Из рис. 1.6 видно, что таким способом можно приближаться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным xk+1 и предыдущим хk приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончим, когда выполнится условие |xk+1-xk|<e, где e - погрешность определения корня.
Рис. 6. Метод Ньютона
Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10-5 - 10-6 достигается через 5-6 итераций.
Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.
Можно несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f(x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона (метод Рыбакова) 
.
Метод Ньютона также можно использовать для уточнения корней в области комплексных значений х. В этом случае начальное приближение корня х0 необходимо выбирать комплексным.
