2020-05-21
134
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.
АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.
∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.
Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.
Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).
Доказать: 
.
Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед
Доказательство:
Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:
Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:
Так как , а , то 
. Поскольку СС1 = АА1, то 
что и требовалось доказать.
Следствие - Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 = 
Рис. 6
Куб
Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Все грани куба – это равные квадраты.
