Векторы в тетраэдре, решение задачи

Задача 2

Задан тетраэдр с вершиной и основанием . Точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра . Обозначены векторы , , , , и . Выпишите все пары равных векторов из обозначенных на рисунке. Определите вид четырехугольника .

Рассмотрим чертеж (рис. 6):

Рис. 6. Тетраэдр

Для начала рассмотрим четырехугольник без учета векторов. Отметим, что и как средняя линия треугольника . Аналогично и как средняя линия треугольника . Имеем:

по свойству транзитивности.

Так, в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, нам известен соответствующий признак: если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник – параллелограмм. Имеем: – параллелограмм.

Теперь мы можем заключить равенство и параллельность отрезков и , причем как сторон параллелограмма, так и средних линий для треугольников и соответственно.

Перейдем к равенству векторов:

и , т. к. противоположные стороны параллелограмма принадлежат параллельным прямым (векторы коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине.

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (точка – середина ребра ).

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны), противонаправлены и длины их равны (точка – середина ребра ).

Итак, мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве, рассмотрели равенство векторов и длины векторов в наиболее распространенных геометрических фигурах – прямоугольном параллелепипеде и тетраэдре.

Домашнее задание

В заданном параллелепипеде выразить через векторы и векторы :

Рис. 7. Параллелепипед

Постройте:

-пару равных векторов;

-пару коллинеарных векторов;

-пару неколлинеарных векторов, равных по модулю;

-пару ненулевых векторов;

В заданном тетраэдре ; ; точки и – середины сторон и соответственно. Выразить через векторы и все векторы, которые можно построить на ребрах тетраэдра:

Рис. 8. Тетраэдр