1.1. Коллинеарные векторы.
Теорема 3. Если векторы и коллинеарны, то существует единственное число такое, что
, (1)
и наоборот.
∆ , тогда ; если , то
Обратное очевидно. ▲
3.2..Компланарные векторы
Опр. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
Теорема 4. Если векторы компланарны и векторы неколлинеарны, то
∆ Отложим векторы от одной точки:
Проведем . (т.3)
(т.3). По правилу параллелограмма:
Допустим, что числа не единственные: вычитая, получим:
Если то Отсюда следует, что и
коллинеарны, что противоречит условию. Аналогично при ▲
3.3. Линейная зависимость
Возьмем конечную систему векторов и чисел
Опр. Вектор называется линейной комбинацией векторов
!Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется условие:
(2)
Если равенство (2) выполняется только при нулевых коэффициентах, то векторы называются линейно независимыми.
Теорема 5. (необх. и дост. условие л\зав.) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.
∆ л\к остальных.
Имеет место равенство (2). Пусть тогда
очевидно ▲
3.4. Свойства линейных систем векторов
1. Если подсистема линейно зависима, то и вся система векторов л\з..
2. Если система л\нз, то любая её подсистема л\нз.
3. Всякая система, содержащая 0-вектор, линейно зависима.
Теорема 6. Два вектора л\з тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Теорема 7. Три вектора л\з тогда и только тогда, когда они компланарны.