Собственные значения и собственные векторы операторов

Собственным вектором линейного преобразования (или соответствующей матрицы ) называется такой вектор , что . Число называется собственным значением оператора для вектора . После линейного преобразования векторы и являются коллинеарными.

Пусть для некоторого собственного вектора и собственного значения . Тогда , или . Так как , то . Последнее уравнение называется характеристическим.

Таким образом, собственные значения являются корнями характеристического уравнения.

Пример 32. Найти все собственные значения и собственные векторы линейного преобразования пространства имеющего матрицу

Решение. Составим характеристическое уравнение .

В нашем случае

Откуда , и .

Случай 1. . Тогда для собственного вектора получим матричное равенство , или

Перемножая матрицы слева и сравнивая элементы, получим систему

которая равносильна уравнению с двумя неизвестными .

Положим , получим . Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид

, где .

Случай 2. . Тогда для собственного вектора получим матричное равенство , или

Перемножая матрицы слева и сравнивая элементы, получим систему

которая равносильна уравнению с двумя неизвестными .

Положим , получим . Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид

, где .

Пример 33. Найти все собственные значения и собственные векторы линейного преобразования пространства имеющего матрицу

Решение. Составим характеристическое уравнение .

В нашем случае

Разложим определитель по элементам первого столбца

Подстановкой убеждаемся, что является корнем уравнения. Разделив левую часть уравнения на , получим разложение

Откуда . Найдем собственные векторы для каждого их найденных собственных значений.

Случай 1. . Тогда для собственного вектора получаем матричное равенство , или

Перемножая матрицы слева и сравнивая элементы, получим систему

Решая систему методом Гаусса, приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду

Получаем систему

Положим , получим . Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид

, где .

Случай 2. . Тогда для собственного вектора получаем матричное равенство , или

Перемножая матрицы слева и сравнивая элементы, получим систему

Решая систему методом Гаусса, приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду, предварительно сократив третье уравнение на 3 и поменяв его местами с первым