Расчетные основы построения модели, изготовленной из материала образца

Два геометрически подобных тела ((модель и образец) размерами х_м и х₀, изготовленных из одного и того, же ма­териала (Я_м = Яо), нагреваются в условиях, когда ^/_м = ^/о и «_м = а₀ (см. рис. 1).

9

Можно.предположить, что при таких условиях нагрева равенство критериев Био будет иметь место для поверхности модели и некоторого слоя с размером х_с внутри образца, обменивающегося теплом е окружающей средой.посредством коэффициента теплопередачи (обозначим его, например, через К), учитывающим дополнительное тепловое сопротив­ление слоя металла толщиной Ах = х₀ — х_с.

Очевидно, что в этом случае возможность осуществления моделирования будет связана с задачей определения значе­ния величины х_с, т. е. размеров условного тела внутри об­разца, в котором распределение температур будет подобно распределению* температур по сечению модельного слитка.

Теперь, приняв выделенный в образце цилиндр с поверх­ностью Р_с за условно самостоятельное тело с теплопередачей к нему К, мы можем записать следующее условие его по­добия модели по критерию Био:

или

Имея в виду,(7), запишем

д*;

~7    |    ^
"О              ^Л0

или, проведя преобразования, получим

(8)

_х_с

^о 4-

Так как по условию Л_м =?ч> ⁼ ^«с = ^ и а_м = ао= ^а> ство (8) приводим к виду

 

Рис. 1. Расположение слоя е.размером х_с~ внутри образца

Решить эту задачу можно следующим образом,: Выделим в образце внутреннюю цилиндрическую поверхность Р_й диа­метром 2х_с и рассмотрим условия подобия; температурных полей этого «усланного» тела с поверхностью Р_с и модель­ного слитка. Условие их геометрического подобия запишется так:

2хс

 

Обеспечение условия равенства критериев Фурье в этом слу­чае также не вызовет никаких затруднений.

Чтобы показать возможность выполнения ограничения (6) по равенству критериев Био, рассмотрим.условия теплооб­мена тела, имеющего поверхность Р_с, с греющей средой при температуре 1{. Общий коэффициент теплопередачи к поверх­ности Р_с от среды, имеющей температуру // и коэффициент' теплоотдачи «о. с учетом теплового сопротивления слоя Ал; = х& — х_с будет

(7)

1. Дл:

«о      ^Ао

10

откуда получаем

аДх

(9)

1 +

Из выражения (9) определим интересующий нас размер х_с:

х_с = х_м + --. А*,                            (10)

где множитель

„ т-'

"•Хи

есть не |что иное, как критерии Вир для

модели. Тогда выражение (10) запишем так: х_с ='*_м + В1 Ах. Подставив в это выражение значение &Х'=х₀ — х_с, после не­сложных преобразований найдем радиус х_с цилиндра, удов­летворяющего ограничению по критерию Био:

„     ^хы + В! Х₀

"

Чтобы рассчитать х_с до выражению (11), нужно знать чис­ленное значение критерия Био для модели, которое можно определить из следующих соображений. Если предположить, что тепловой поток внутри тела зависит, от координаты х (по толщине тела), то можно записать

, сИ

11

Решая это уравнение относительно I, получаем •

я-1 '

 

Найденный закон •распределения' температуры по толщине тела параболический относительно х с показателем 'степени (т + 1). Пользуясь этим законом, можно с достаточной точ­ностью описать все возможные случаи распределения темпе­ратур по сечению тел простой формы: плиты, цилиндра, шара. При х = 0, I = ^_Цг и согласно уравнению (12)

'2м = 'ц м -Г Чг

Решая совместно эти уравнения? находим

_а--- Л1Л_ — (—-^1.

"2М   *'1Г М          \ ^Л2М /

Логарифмируя, найдем

(13)

1п (

п =

С учетом параболического рас­пределения температур в теле с показателем степени п ра­венство критериев Био дает следующую зависимость по уравнению (15):

ПрИ X — Х_0> 1 = /пг

'п

Х_п

цг

Имея в виду уравнение

г,

(14)

где аг — коэффициент теплоотдачи в рассматриваемый мо­мент времени т*, вт/м² • град; ^ — температура поверхности тела в данный момент времени, °С; ^—температура печи, °С, можно записать

откуда

 

т т

• 1, ТО

НО так Как

обозначение («+!)=«, получим

В!,-

«Г

т+,1 '

или, дведя

(15)

 

*/м  'п м ис  П

^•^

= ~.  О/)

Рис. 2. Расположение точек замера температур по сечению модельного, слитка и обозна­чение их координат

Значение ^_Пм можно определить, используя ранее полученную зависимость (13):

 

Показатель рашределения я определяется, по.эксперимен­
тальным' данным, полученным при нагреве модельного
слитка.                                                                         ,1

'По сечению слитка измеряются температуры в нескольких точках:

М

'им И Гц м

с координатами соответственно х\_и, х_2и, • • •, •х„т_Я'-'я х_цм. При
выполнении расчетов для какого-то конкретного момента
времени достаточно измерить температуры в трех точках по
сечению слитка (см. рис. 2): /_ш, ^_2м и /_цм и нужно знать их
координаты: х\_м, х^ж и л;_дм = 0. Тогда по уравнению (13) для
координат хпя и х_2м с учетом того, что т •=>(«• — >1) можно
записать:              Г

12

 

Для выполнения равенства (17) необходимо обеспечить сле­дующие УСЛОВИЯ: //м = ^о; /цм = ^цс = 1цо', 1-а.м = 1пс. С уЧ6-

том этих условий и уравнения (13) получим

(19)

'по — 'ц о

(_х } ><

вде ^цо ^:=!^цм; ^пс—^пм-

Уравнения (11), (16), (17),.(18) и (19) позволяют по найденным экспериментально температурам модельного слитка рассчитать температурные поля в натурном слитке любого размер а, геометрически подобном модельному.

Изложим кратко последовательность наших действий при; использовании предлагаемой методики моделирования. При

13

нагреве модельного слитка записываем.кривые изменения температуры во времени по его сечению в точках с коорди­натами хш, *2_М и Яцм.' Одновременно регистрируем и темпе­ратуру греющей среды //_м, т. е. температуру рабочего.про­странства печи. С помощью полученных кривых находим зна­чения (/1м) г, '(/2м) г', (/цм)г И (.//м) г ДЛЯ КЗКОГО-ТО

ного момента времени т.<. По значениям' \$ш)ь '(/гм)г и из уравнения (16) находим /г, — показатель степени распре­деления температур по сечению модельного слитка в момент времени т, (значения координат хш и х_2щ нам известны). Зная значение л, и д;_0м по уравнению (18), рассчитываем значение температуры ^_М{ на поверхности модельного слитка. Затем по (17) определяем численное значение В1,, знание которого позволит¹ нам из выражения (11) найти величину х_с{. Так как в 'сходственные моменты времени выполняются условия /_цс = /цм и /пс='/пм, то по уравнению (19) можем определить значение /_по$. Определение сходственного мо­мента времени для натурного слитка производится из усло­вия (Ро)_м = ('Ро)_с. Для двух моменте® времени т» и т,-! на­ходится среднее значение

дуемый слиток'укладывается на высокие стойки 2, которые при загрузке слитка в печь входят в узкую прорезь 11, имею­щуюся в стационарном поду 12. Такая конструкция пода печи позволяет исключить влияние, выкатного пода на темпе­ратуру рабочего пространства, которая в процессе исследо­вания должна поддерживаться постоянной. Для экранйрова-

Л20В

 

v СО

Х_с * = -

а затем из условия равенства критериев Фурье находим 'про­должительность сходственного промежутка времени при на­греве натурного слитка: -

А

Ат₀ = Дт

где Ат_м = т, — т,-!. Действуя таким образом, мы сможем найти значение температуры в любой точке по сечению на­турного слитка в каждый интересующий нас момент времени от начала его нагрева.