2020-06-12
79
Рассмотрим систему автоматического управления, описываемую линейным или линеаризуемым дифференциальным уравнением вида:
где x (t) – выходной сигнал, y (t) – входной сигнал, ai, bj – постоянные коэффициенты (для стационарной системы)
Передаточной функции звена является отношение преобразование Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях:
Динамические свойства систем характеризуют реакции на типовые входные воздействия, в частности анализ выхода системы на единичный скачек 1(t) и
δ-функцию (дельта-функцию).
Пусть на вход системы подается единичный скачок (функция Хевисайда) y (t)=1(t), определяемая
График функции Хевисайда приведен на рис. 6.1. Реакция системы автоматического управления на единичный скачок называется переходной характеристикой (переходной функцией) системы и обозначается h (t).
Рис. 6.1. Функция Хевисайда
Если y (t)=δ(t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (δ-функция, импульсная функция), определяемая
то реакция системы автоматического управления называется импульсной переходной характеристикой (функции веса), обозначается k (t).
График функции Дирака представлен на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Функция Дирака
Импульсная и переходная характеристики связаны соотношением:
Импульсная и переходная характеристики являются зависимостями от времени, поэтому их называют временными характеристиками.
При исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили широкое распространение частотные характеристики.
Пусть на вход системы с передаточной функции W (s) подается гармонический сигнал
В данных условиях справедлива следующая теорема. Если звено является устойчивым, то установившееся реакция x (t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой
и относительным сдвигом по фазе
Таким образом, выход определяется гармонической функцией
где j – комплексная единица 
– частотная характеристика, 
.
При фиксированном значении ω частотная характеристика 
является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде
Здесь
– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
– фазово-частотная характеристика (ФЧХ);
– вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
– мнимая частотная характеристика (МЧХ).
Геометрическое место точек 
на комплексной плоскости при изменении ω от ω0 до ω1 (обычно ω0=0, ω1=∞), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.
Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как 
измеряется в децибелах и строится как функция от lg ω.
Постановка задачи
В качестве объекта исследования выступают линейные динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной системы автоматического управления задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов
Необходимо:
1. Определить нули и полюса передаточной функции.
2. Записать дифференциальное уравнение, определяющее функционирование заданной системы.
3. Построить графики переходной и импульсной характеристик.
4. Построить частотные характеристики.
5. Построить годограф Найквиста.
6. Представить исходную систему в виде последовательного соединения типовых звеньев. Построить характеристики этих типовых звеньев.
Таблица 6.1 – Варианты заданий
| № варианта | Вид передаточной функции | Коэффициенты полиномов | ||||||
|
1 |
| b 0 | b 1 | a 0 | a 1 | a 2 | a 3 | a 4 |
| 3 | 0 | 1 | 0 | 3 | 2 | 1 | ||
| 2 | 6 | 2 | 1 | 5 | 1 | 0 | 4 | |
| 3 | -3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 5 | |
| 4 | 2 | 4 | 1 | 3 | 5 | 4 | 3 | |
| 5 | 1 | 0 | 0 | -2 | -3 | -2 | -2 | |
|
6 |
| b 0 | b 1 | b 2 | a 0 | a 1 | a 3 | a 4 |
| 2 | -3 | 0 | 9 | 3 | 2 | 4 | ||
| 7 | -3 | 0 | -5 | -1 | -4 | -6 | -4 | |
| 8 | -2 | 6 | -7 | 1 | 0 | 5 | 5 | |
| 9 | -7 | -8 | -6 | -1 | -3 | -6 | 0 | |
| 10 | -3 | -1 | 2 | -2 | -7 | 0 | -1 | |
|
11 |
| b 0 | b 1 | b 2 | a 0 | a 1 | a 3 | a 4 |
| 8 | 2 | 0 | 1 | -7 | 7 | -3 | ||
| 12 | 3 | 0 | -5 | -6 | -1 | -2 | -8 | |
| 13 | 2 | 1 | -7 | 9 | 2 | 5 | 0 | |
| 14 | -4 | 4 | -6 | 3 | 6 | 0 | 1 | |
| 15 | -1 | -2 | 2 | 9 | 0 | 3 | 5 | |
|
16 |
| b 0 | b 2 | a 0 | a 1 | a 2 | a 3 | a 4 |
| -5 | 0 | 1 | 9 | 7 | 3 | 4 | ||
| 17 | -6 | 7 | 2 | 2 | 8 | 5 | 0 | |
| 18 | 8 | -2 | 3 | 3 | 4 | 0 | 2 | |
| 19 | -1 | -7 | 2 | 4 | 0 | 9 | 6 | |
| 20 | 7 | -3 | 1 | 0 | 5 | 4 | -4 | |
