Последовательность выполнения работы

 

1. Изучить теоретические сведения.

2. Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по данным, приведенным в табл. 7.1 для разомкнутой системы.

3. Написать дифференциальные уравнения для разомкнутой и замкнутой системы.

4. Определить корни характеристического уравнения.

5.Используя Matlab, определить устойчивость замкнутой системы, используя критерий Гурвица.

6.Используя Matlab, определить устойчивость замкнутой системы, используя критерий Найквиста, с помощью функции nyquist.

7.Определить устойчивость замкнутой системы, используя критерий Михайлова.

8.Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе, используя ЛАЧХ и ЛФЧХ.

9.Выполнить моделирование временных характеристик разомкнутой и замкнутой систем.

10. Ответить на контрольные вопросы.

11. Оформить отчет.

 

Методический пример

Передаточная функция системы:

Создадим tf-объект с заданной передаточной функцией

>> w=tf([1 1],[3 4 5 1])

       s + 1

-----------------------

3 s^3 + 4 s^2 + 5 s + 1

Continuous-time transfer function.

Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу Гурвица и найдите ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдите значения всех диагональных детерминантов. Пример:

А=[1 14 18; 2 5 2; 3 4 3]

А =

1 14 18

2 5   2

3 4   3

>> det(A)

ans = -119

>> А1=А(1:2, 1:2)

А1 =

1 14

2 5

>> det(A1)

5

 

ans = -23.

Для проверки устойчивости по Найквисту сначала нужно выяснить, является ли устойчивой разомкнутая система.

Пример. Пусть дана передаточная функция разомкнутой системы:

Рассмотрим реакцию на скачок:

>> w=tf([2 1],[2 3 2 3 1])

>> step(w, 18)

График переходного процесса показан на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Переходная характеристика

 

Разомкнутая система неустойчива, и, согласно критерию Найквиста, надо, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1, j 0) столько раз, сколько полюсов имеется справа от мнимой оси. Для построения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist

>> nyquist(w)

Диаграмма Найквиста показана на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Годограф Найквиста

 

Как показывает рис. 7.5, АФЧХ ни разу не охватывает точку (-1,: 0), поэтому замкнутая система будет неустойчивой. Частотный критерий Найквиста можно использовать и в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы: замкнутая минимально-­фазовая система устойчива (корни числителя и знаменателя передаточной функции лежат слева от мнимой оси), если при достижении ЛФЧХ значения -π ЛАЧХ будет отрицательной. Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе с помощью команды >> margin(w).

w=tf([10],[2 2 3 1]);

margin(w), grid

Соответствующий график представлен на рис. 7.6.

Для того, чтобы рассчитать передаточную функцию замкнутой системы c единичной отрицательной обратной связью можно воспользоваться функцией feedback(w,-1):

wz=feedback(w,-1)

wz =

        10

-----------------------

2 s^3 + 2 s^2 + 3 s – 9

 

Рис. 7.6. ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

Контрольные вопросы

1. Как связана устойчивость линейной САУ с видом составляющих ее свободного движения?

2. Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды задающих воздействий или возмущений?

3. Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица, укажите на необходимое условие устойчивости линейных САУ, вытекающее из этого критерия?

4. Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ, устойчивых в разомкнутом состоянии, а также для астатических САУ. Что такое «запасы устойчивости по фазе и по амплитуде»?

5. Что называется структурной устойчивостью?

Содержание отчета

– титульный лист;

– краткие теоретические сведения;

– дифференциальные уравнения для разомкнутой и замкнутой системы.

–  определить корни характеристического уравнения

– переходную функцию разомкнутой системы;

– расчет передаточной функции замкнутой системы (в Matlab – feedback);

– расчетные выражения для обоснования устойчивости замкнутой системы по алгебраическому критерию Гурвица;

– годограф Найквиста разомкнутой системы, на основании кото­рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы;

– годограф Михайлова разомкнутой системы;

– переходную функцию замкнутой системы;

– проверку полученных результатов путем компьютерного моделирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой системы в MATLAB Simulink;

– ответы на контрольные вопросы;

– выводы по работе.

Лабораторная работа №8. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Цель работы – изучение временных, частотных, корневых оценок качества переходных процессов в системе регулирования.