Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля

Пусть S – источник света (рис.4). Окружим его произвольной воображаемой поверхностью. Каждый участок этой поверхности можно считать источником вторичной волны. Вторичные волны от различных участков когерентны. Световая волна, являющаяся результатом интерференции вторичных волн, в пространстве вне поверхности совпадает с волной, излучаемой реальным источником света. 

Рис. 4. К принципу Гюйгенса-Френеля

Амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке М вторичным источником, пропорциональна отношению площади участка волновой поверхности S к расстоянию от него до точки М, и зависит от угла  между внешней нормалью к волновой поверхности и направлением от элемента в точку М.

(2)

где – коэффициент пропорциональности, удовлетворяющий неравенству  и убывающий с ростом угла . При , при . Результирующее поле в точке М представляет собой суперпозицию колебаний (2), взятых для всей волновой поверхности:

(3)

(3) - аналитическая запись принципа Гюйгенса - Френеля.

В случае, когда между источником света и точкой наблюдения находится непрозрачная преграда с отверстием, то амплитуда вторичных волн в этих местах считается равной нулю.

Зоны Френеля

Вычисление интеграла по формуле (3) в общем случае затруднительно. Френель решил задачу нахождения амплитуды в т. Р, заменив интегрирование суммированием, т.е. перешёл от непрерывных сумм () к дискретным (Σ).

В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла.

Пусть от источника света S (рис. 5) распространяется монохроматическая сферическая волна, P –точка наблюдения.

Рис.5.Зоны Френеля

Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на  - половину длины световой волны. Построенные таким образом сектора сферы называются зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна . Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображений следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит, каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером , уменьшается с ростом , т.е.

Происходит это из-за увеличения с ростом угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит, гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.