Показатели надежности систем с резервированием

В системе с резервированием отказ одного или нескольких элементов не приводит к безусловному отказу всей системы.

Пусть для нормальной работы в системе, состоящей из n элементов, необходимо r элементов. В этом случае n - r элементов являются резервными. Отказ системы наступает при условии одновременного выхода из строя числа элементов m хотя бы на один больше, чем имеется резервных, то есть условие отказа:

m = n - r + 1.

Вероятность отказа рассматривается как вероятность совпадения отказов n-r+1 элементов в течение расчетного периода.

При условии равной надежности элементов вероятность безотказной работы и вероятность отказа определяется в соответствии со схемой Бернулли [1] по формулам биноминального распределения:

,

где С^k_n=(n!) / [(n-k)! k! ] - число сочетаний из n элементов по k.

Резервирование называется постоянным, если в работе находятся все элементы, и система не выходит из строя до отказа определенного количества элементов.

Резервирование замещением - это такое резервирование, при котором резервные элементы включаются только после автоматического отключения отказавших элементов.

Для постоянного резервирования построены специальные таблицы [4] для кратности резервирования

k = (n-r) / r = (m-1) / (n-m+1).

Кратность резервирования обозначается простой несократимой дробью, в числителе которой стоит число резервных, а в знаменателе - число рабочих элементов, например 2/3 - два резервных и три рабочих элемента. На рис.4 представлена зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов и кратности резервирования [3, 4].

 

Рис.4

Зависимости для постоянного резервирования;

0\1, 1\3, 2\2, 3\1 - кратность резервирования

Вероятность безотказной работы системы с постоянным резервированием с учетом возможности отказов отключающей аппаратуры определяется в виде:

P_c = P_k × P_o.c.,

где Р_k - вероятность безотказной работы группы элементов с кратностью резервирования k;

P_{o.c .}- вероятность отсутствия отказов срабатывавния при отключении отказавшего элемента.

При резервировании замещением вероятность отказа системы определяется по формуле полной вероятности:

где  - условная вероятность отказа системы при отсутствии отказов аппаратуры;

- условная вероятность отказа системы при отказе в отключении отказавшего элемента;

 - условная вероятность отказа системы при отказе во включении резервного элемента;

 - условная вероятность отказа системы при совпадении отказов в отключении отказавшего и включении резервного элементов;

P(A₁), Q(A₁) - соответственно вероятность отсутствия отказа и вероятность отказа в отключении отказавшего элемента;

P(A₂), Q(A₂) - соответственно вероятность отсутствия отказа и вероятность отказа во включении резервного элемента.