Способы задания числовой последовательности

Лекции по дисциплине ОУД.03 «Математика; алгебра и начала математического анализа, геометрия»

Раздел. Начала математического анализа

Урок

Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Определение 1. Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y₁, y₂, y₃,..., y_n,... или (y_n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Способы задания числовой последовательности.

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,.....

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39,....

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,....

Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n²;

                                1,   4, 9, 16, 25,..., n²,....

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

                               C, C, C,..., C,....

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5,..., 5,....

Пример 4. Последовательность y = 2ⁿ;

                                 2, 2², 2³, 2⁴,..., 2ⁿ,....

Рекуррентный способ.

Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.

Пример 1. Арифметическая прогрессия: a₁=a, a_n+1=a_n+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a₁=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5;.... 

Пример 2. Геометрическая прогрессия: b₁= b, b_n+1= b_n q, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b₁=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875;....

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y₁=1,   y₂=1,  y_n-2+y_n-1,  если n=3, 4, 5, 6,.... Она будет иметь вид: 

 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,....

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.

Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.

  Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11,...;                                                         

б) 4, 8, 12, 16, 20,...;

Решение.

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.

Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n = y_n-2+y_n-1, если n = 3, 4, 5, 6,....  

Решение.

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=1+2=3;

y₄=2+3=5;

y₅=3+5=8;

y₆=5+8=13;

y₇=8+13=21;

y₈=13+21=34;

y₉=21+34=55;

y₁₀=34+55=89.

        Пример 3. Последовательность (y_n) задана рекуррентно: y₁=1, y₂=2,            y_n= 5 y_n-1- 6y_n-2. Задать эту последовательность аналитически.

Решение.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=5y₂-6y₁=10-6=4;

y₄=5y₃-6y₂=20-12=8;

y₅=5y₄-6y₃=40-24=16;

y₆=5y₅-6y₄=80-48=32;

y₇=5y₆-6y₅=160-96=64.

Получаем последовательность: 1;   2;   4;  8;  16;   32; 64;..., которую можно представить в виде

                                                        2⁰; 2¹;  2²; 2³; 2⁴; 2⁵; 2⁶....

                                                 n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7....

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2^n-1.

         Пример 4. Дана последовательность y_n=24n+36-5n².

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Решение.

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x² +24x+36, где x

а) Найдём значения функции, при которых  -5x² +24x+36>0. Решим уравнение -5x² +24x+36=0.

D = b²-4ac=1296, X₁=6, X₂=-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5x² +24x+36 можно найти по формуле x= , получим: x=2,4.

 

 

 

           -                                   +                        -

 

                                       -1,2                    6        

Неравенство -5x² +24x+36>0 выполняется при -1,2  В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y₂=64.

в) Наименьшего элемента нет.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Вариант 1.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если     последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно:   y₁=1, y₂=3, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -150, a₆= -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии        22,7; 21,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 2.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 7, 11, 15, 19, 23,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=0, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,5 и разностью 0,8.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 4,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 160, a₆= 156. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6.  Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии           

-15,1; -14,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 3.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: , ,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 7,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 150, a₆= 141. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии           

 -14,1; -13,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

В) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 4.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 5, 8, 11, 14, 17,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=2, y₂=1, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -145, a₆= -130. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии        17,3; 15,4....

7. Дана последовательность y_n=-2n -3 - n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

 

Урок