Работа над изучаемым материалом

3.1. Объяснение нового материала.

Определение 1. Последовательностей (y_n) называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого n  N выполняется неравенство  М.

 

Определение 2. Последовательность (у_n)называют ограниченной снизу, если существует  такое число m, что для любого n   .

Если последовательность ограничена  cверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Пример 1.

Дана числовая последовательность: 1,  Определите, является ли она ограниченной?

Решение. Максимальное значение, которое может принимать эта числовая последовательность это 1; а минимальное – 0. Значит эта числовая последовательность ограниченная.

Определение 3. Последовательность (y_n) называют возрастающей, если каждый её элемент (кроме первого) больше предыдущего:

Пример 2. Возрастающая последовательность 2, 4, 6, 8, 10,....

.. Последовательность (y_n) называют убывающей, если каждый её элемент (кроме первого) меньше предыдущего:

Пример 3.

Исследовать на ограниченность последовательность

y_n= +

Решение.

y₁= , y₂= y₃= и т.д. Эта последовательность ограничена снизу. Наименьший элемент - этой последовательности y₁= .

Ответ: последовательность ограничена снизу.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином –монотонные последовательности. Например,  1, 4, 9, 16, 25,...,n² ,... и 1,  ...-многоточие последовательности, а последовательность 1,- , - ,...,(-1)^n-1

Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на луче , то последовательность y_n = f(n) – возрастающая (убывающая).

Пример 4. Исследовать на монотонность последовательность y_n= .

Решение.

Выпишем n-й и (n+1)-й члены последовательности: y_n= , y_n+1=  . Найдём их разность

y_n+1 - y_n =  -  = Для любых значений n y_n+1 – y_n, значит последовательность убывает.  

 

Урок

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисление членов последовательности. Предел последовательности.

Практическая работа.

Рассмотрим две числовые последовательности - (y_n), (x_n).

(x_n):  1, 3, 5, 7, 9, 11,...;

(y_n):  1, ...  ,....

x_n

 

          0 1   3   5   7    9  11     

 

y_n

 

          0                                                  

 

Члены последовательности(y_n) сгущаются около точки 0 - говорят, что эта последовательность сходится к точке 0. У последовательности (x_n) такой точки сгущения нет – эта последовательность расходится.

Сходящаяся последовательность имеет предел.

Определение. Число b называют пределом последовательности (y_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

В математике это обозначается так: y_n  b или так: .

Пример 1. Найти предел последовательности ,

Решение. Последовательность сходится к 0.

или = 0.

,