2020-06-12
402
| №Вар | λ1 | λ2 | λ3 | u1 | u2 | u3 |
| 14 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
Решение:
Подставим Значения из таблицы и упростим уравнения.
Для составления матриц этой системы уравнений и автоматизации процесса решения, запишем ее в следующем виде:
Таким образом в этой системе имеем матрицу А:
| 2 | -4 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | |
| 1 | 0 | -5 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | -5 | 2 | 2 | 0 | 0 | |
| А = | 0 | 1 | 0 | 2 | -5 | 0 | 0 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | -6 | 0 | 2 | |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | -5 | 2 | |
| -4 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Матрица свободных членов В:
| 0 | |
| 0 | |
| 0 | |
| В = | 0 |
| 0 | |
| 0 | |
| 0 | |
| 1 |
Матрица неизвестных Х:
| p0 | |
| p1 | |
| p2 | |
| Х = | p3 |
| p4 | |
| p5 | |
| p6 | |
| p7 |
Чтобы найти решение – вектор столбец Х, в MS Excel нужно с помощью соответствующих функции «МОБР» найти матрицу обратную к матрице А и умножить ее на вектор-столбец В.
| -0,11587 | -0,09841 | -0,09841 | -0,04127 | -0,02857 | -0,04127 | -0,30159 | 0,222222 | |
| -0,27302 | -0,0127 | -0,0127 | -0,06984 | 0,028571 | -0,06984 | -0,0873 | 0,222222 | |
| 0,020635 | -0,21111 | 0,026984 | 0,04127 | -0,04286 | -0,05397 | -0,00794 | 0,111111 | |
| - A = | 0,020635 | 0,026984 | -0,21111 | -0,05397 | -0,04286 | 0,04127 | -0,00794 | 0,111111 |
| 0,034921 | 0,084127 | -0,01111 | -0,16825 | 0,042857 | 0,069841 | 0,063492 | 0,111111 | |
| 0,074603 | 0,03254 | 0,03254 | 0,053968 | -0,13571 | 0,053968 | 0,06746 | 0,055556 | |
| 0,034921 | -0,01111 | 0,084127 | 0,069841 | 0,042857 | -0,16825 | 0,063492 | 0,111111 | |
| 0,203175 | 0,189683 | 0,189683 | 0,168254 | 0,135714 | 0,168254 | 0,210317 | 0,055556 |
| p0 = | 0,222222 | |
| p1 = | 0,222222 | |
| p2 = | 0,111111 | |
| p = | p3 = | 0,111111 |
| p4 = | 0,111111 | |
| p5 = | 0,055556 | |
| p6 = | 0,111111 | |
| p7 = | 0,055556 | |
| Сумма | 1 |
Получив решение необходимо выполнить проверку нормировочного условие, т.е. сумма найденных неизвестных членов должна быть равна 1.
Пр.14 «Вычисление предельных вероятностей состояний для процесса гибели и размножения»
Цель:
Отработать и закрепить умения вычислить предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения.
Вариант 26.
Дана система, которая может находиться в одном из пяти состояний. Система работает по схеме процесса гибели и размножения, граф которого показан на рисунке Рис. 1
Рис.1
Числовые значения интенсивности перехода системы из состояния в состояние заданы в таблице 1.
(Табл. 1)
| λ12 | λ23 | λ34 | λ45 | λ21 | λ32 | λ43 | λ54 |
| 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 5 | 1 | 5 |
Решение:
Вычислим финальные вероятности событий. Составим систему линейных уравнений:
для первого состояния S1 имеем:
(1.1)
для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:
Но, в силу (1.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены 
и 
и получим:
Так же для события S3:
для события S4:
и для события S5:
Итак, предельные вероятности 
в этой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям и нормировочному условию:
Решим эту систему уравнений. Будем решать эту систему следующим образом:
из первого уравнения выразим p2:
(1.2)
из второго, с учетом (1.2), получим:
(1.3)
из третьего, с учетом (1.3), получим:
из четвертого, с учетом предыдущего, получим:
Подставим вероятности в нормировочное условие:
Получаем
Вставим числовые значения в формулу:
Остальные вероятности выражаются через 
:
Подставим числовые значения:
Проверим правильность вычислений, подставив найденные значения предельных вероятностей в нормировочное условие:
