Пр.18 ««Решение игр в смешанных стратегиях. Сведение игры к задаче линейного программирования»

Цель работы:

1. Отработать и закрепить умения составлять для конечной парной антагонистической игры платежные матрицы для игроков по условиям игры.

2. Отработать и закрепить умения определять основные параметры матричной игры: верхнюю и нижнюю цены игры, максиминную и минимаксную стратегии, чистую цену игры.

3. Отработать и закрепить умения сводить игру размера mxn заданную платежной матрицей к двойственным задачам линейного программирования.

4. Отработать и закрепить умение находить решение матричной игры mxn в смешанных стратегиях с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel.

Задача 1

Каждый из игроков А и В записывает одно из чисел N1,N2,N3 или N4, затем они одновременно показывают написанное. Если оба числа оказались одинаковой четности, то игрок А выигрывает столько очков, какова сумма этих чисел, если разной четности – выигрывает игрок В. Составить платежную матрицу, найти нижнюю и верхнюю чистые цены игры, максиминную и минимаксную стратегии игроков. Указать наличие седловой точки (если она есть).

№ Варианта	N1	N2	N3	N4
15	3	4	9	8

Решение

1. Составим платежную матрицу

Пусть – стратегия первого игрока, он записывает число 3, – стратегия первого игрока, он записывает число 4, – стратегия первого игрока, он записывает число 9, – стратегия первого игрока, он записывает число 8.

– стратегия второго игрока, он записывает число 3, – стратегия второго игрока, он записывает число 4, – стратегия второго игрока, он записывает число 9, – стратегия второго игрока, он записывает число 8.

Если 1-й участник применит первую стратегию и второй участник тоже (оба запишут 3), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 3 + 3 = 6.

Если 1-й участник применит первую стратегию (напишет 3), а второй участник использует вторую стратегию (напишет 4), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 3+ 4 = 7.

Если 1-й участник применит первую стратегию (напишет 3), а второй участник использует третью стратегию (напишет 9), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 3 + 9 = 12.

Если 1-й участник применит первую стратегию (напишет 3), а второй участник использует четвертую стратегию (напишет 8), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 3 + 8 = 11.

Если 1-й участник применит вторую стратегию (напишет 4), а второй участник использует первую стратегию (напишет 3), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 4 + 3 = 7.

Если 1-й участник применит вторую стратегию (напишет 4), а второй участник использует вторую стратегию (напишет 4), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 4 + 4 = 8.

Если 1-й участник применит вторую стратегию (напишет 4), а второй участник использует третью стратегию (напишет 9), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 4 + 9 = 13.

Если 1-й участник применит вторую стратегию (напишет 4), а второй участник использует четвертую стратегию (напишет 8), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 4 + 8 = 12.

Если 1-й участник применит третью стратегию (напишет 9), а второй участник использует первую стратегию (напишет 3), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 9 + 3 = 12.

Если 1-й участник применит третью стратегию (напишет 9), а второй участник использует вторую стратегию (напишет 4), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 9 + 4 = 13.

Если 1-й участник применит третью стратегию (напишет 9), а второй участник использует третью стратегию (напишет 9), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 9 + 9 = 18.

Если 1-й участник применит третью стратегию (напишет 9), а второй участник использует четвертую стратегию (напишет 8), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 9 + 8 = 17.

Если 1-й участник применит четвертую стратегию (напишет 8), а второй участник использует первую стратегию (напишет 3), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 8 + 3 = 11.

Если 1-й участник применит четвертую стратегию (напишет 8), а второй участник использует вторую стратегию (напишет 4), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 8 + 4 = 12.

Если 1-й участник применит четвертую стратегию (напишет 8), а второй участник использует третью стратегию (напишет 9), то оба числа оказываются разной четности, участник В выигрывает 8 + 9 = 17.

Если 1-й участник применит четвертую стратегию (напишет 8), а второй участник использует четвертую стратегию (напишет 8), то оба числа оказываются одинаковой четности, участник А выигрывает 8 + 8 = 16.

Таким образом, получим матрицу выигрышей участника А:

Величина - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия, обеспечивающая получение выигрыша α, называется максиминной. Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше α.

Величина - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия, обеспечивающая получение проигрыша β, называется минимаксной. Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше .