Распределение зарядов

Для упрощения математических расчетов удобно заменить истинное распределение точечных зарядов фиктивным непрерывным распределением, игнорируя тот факт, что заряды имеют дискретную структуру.

Удобно считать, что заряды определённым образом «размазаны» в пространстве. Это позволяет значительно упростить расчёты, не внося в них сколько-нибудь значительной ошибки. При переходе к непрерывному распределению вводят понятия оплотностях зарядов: линейной -l, поверхностной-s, и объёмной -r.

Пусть dq - заряд, заключенный соответственно на длине dl, на поверхности dS и в объеме dV, тогда по определению:

Линейной плотностью электрического заряда называется величина l, численно равная величине электрического заряда, приходящегося на единицу длины заряженной нити.

Поверхностной плотностью электрического заряда называется величина s, равная величине электрического заряда, находящегося на единице площади поверхности заряженного тела, на 1м².

Объемной плотностью электрического заряда называется величина r, численно равная величине электрического заряда, находящегося в единице объема заряженного тела.

Зная плотность распределения заряда, его величину можно рассчитать по формулам

В СИ единицами измерения плотностей зарядов являются:

линейной - [l]=Кл/м,

поверхностной -[s] = Кл/м2,

объемной - [r] = Кл/м3.

Электрическое поле

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не производит заметного перераспределения исследуемых зарядов.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика напряженность электрического поля.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора в каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим. Во многих случаях для краткости это поле обозначают общим термином – электрическое поле

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор направлен к заряду.

Кулоновское поле точечного заряда Q удобно записать в векторной форме.

где r – модуль радиус-вектора .

Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводят так, чтобы направление вектора в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии (рис. 1.2.1). При изображении электрического поля с помощью силовых линий, их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.

Рисунок 1.2.1. Силовые линии электрического поля

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 1.2.2.

Во многих задачах электростатики требуется определить электрическое поле по заданному распределению зарядов.

Электрический заряд Q равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса R. Найдите электрическое поле в точке P, лежащей на оси кольца на расстоянии x от его центра.

Решение

Общий прием решения задач по определению электрического поля непрерывного распределения зарядов состоит в разбиении заряженного тела на элементарные объемы, размер которых много меньше расстояния до точки наблюдения. Электрическое поле зарядов, попавших в элементарные объемы, может быть найдено по закону Кулона. Полное поле находится по принципу суперпозиции как векторная сумма элементарных полей.

Рассмотрим малый элемент dS заряженного кольца. Заряд dQ этого элемента равен

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого зарядом dQ в точке P, равен

Составляющая этого поля вдоль оси x есть

При суммировании составляющих dE_x, создаваемыми всеми элементами dS заряженного кольца, получим:

Суммирование составляющих dE _α, перпендикулярных оси кольца, в силу симметрии задачи даст нулевое значение поля E _α.

ТЕОРЕМА ГАУССА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАКОНА КУЛОНА. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ.).

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля.

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка Δ S. Произведение модуля вектора на площадь Δ S и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку Δ S

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Пусть - поверхностная плотность заряда, находящегося на бесконечной плоскости. Из симметрии ясно, что линии вектора Е перпендикулярны плоскости и густота их везде одинакова. Построим замкнутую поверхность в виде цилиндра, боковая поверхность которого перпендикулярна плоскости.

Поток линий Е сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а во всех точках оснований Следовательно, полный поток будет равен потоку через два основания цилиндра

- площадь оснований цилиндра.

Так как заряд, находящийся внутри цилиндра, равен то

РАБОТА

Рассмотрим электрическое поле, созданное неподвижным зарядом q, в котором перемещается заряд из точки 1 в точку 2. На траектории движения заряда выделим бесконечно малый отрезок dl и вычислим элементарную работу

Полная работа, совершаемая полем при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2

Работа, совершаемая силами электрического поля по перемещению заряда, не зависит от пути перехода, а является функцией начального () и конечного () расстояний между зарядом q, создающим поле, и зарядом , в нем перемещающимся.