Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, … с вероятностями

где

Тогда

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке если ее плотность вероятности

Тогда

Показательный закон распределения (экспоненциальный)

Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром если ее плотность

Тогда

Нормальный закон распределение (распределение Гаусса)

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами если ее плотность вероятности имеет вид

Тогда

Решение задач

1. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Записать закон распределения случайной величины X – число выпадений гербов на обеих монетах.

Решение. В данном опыте пространство элементарных исходов Ω = {(ГГ), (РР), (ГР), (РГ)}. Герб может выпасть 1 раз, 2 раза и ни разу.

Закон распределения случайной величины X:

2. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна Составьте закон распределения числа вызовов, если: а) число вызовов не более 5; б) число вызовов не ограничено.

Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. а) Случайная величина X – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Пусть — – ый вызов принят . Вероятность того, что первый вызов принят Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не будет принят, и

Аналогично,

Пятый вызов при любом исходе – последний.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

Математическое ожидание

Дисперсия

б) Так как число вызовов не ограничено, то ряд распределения случайной величины X имеет вид:

X:					…		…
X:					…		…

Проверка:

( Сумма ряда в скобках – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, В нашем случае

Для вычисления суммы ряда воспользуемся формулой

В нашем случае

Для вычисления суммы, записанной в скобках, сначала рассмотрим сумму ряда при

При

3. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из значений равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2 и ее дисперсия равна 0,16.

Решение. Пусть значения случайной величины X равны и По условию одна из вероятностей равна 0,8. Пусть Тогда Запишем ряд распределения

Известно, что

Значит, что

Решая систему, находим два решения: и

Поэтому

или

4. Дана функция распределения случайной величины X:

а) Найти плотность вероятности

б) Построить графики и

в) Найти вероятности и

г) Вычислить и

Решение.

а) Плотность вероятности

б)

в)

г)

Упражнения

1. Может ли закон распределения какой – либо случайной величины быть задан таблицей:

а)

б)

2. Вероятность того, что в библиотеке есть необходимая студенту книга равняется 0,3. Составьте закон распределения случайной величины X – числа библиотек, которые посетит студент (студент прекращает последовательное посещение библиотек, если в какой – либо из них обнаружит нужную книгу).

3. Проводится розыгрыш 1000 билетов лотереи, в которой 100 билетов дают выигрыш по 1 гривне, 10 билетов – по 10 гривень, 1 билет – 100 гривень. Какой выигрыш в среднем приходится на билет? Известно, что билеты продают по 1 гривне.

4. Дискретная случайная величина X принимает 3 значения с вероятностями Найдите и , если

5. Дискретная случайная величина X принимает 2 значения и , Составьте закон распределения случайной величины X, если Найдите функцию распределения и постройте ее график.

6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в долг с вероятностью 0, 1. Составьте закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

7. В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равняется 0, 9, второй – 0,8, а третьей – 0,7. Составьте закон распределения числа правильно решенных задач в билете; вычислите

8. Произведено 2 выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0, 8, а вторым – 0,7. Составьте закон распределения числа попаданий в мишень. Найдите функцию распределения Постройте график (Каждый стрелок делает по одному выстрелу).

9. Имеются 4 ключа, из которых только 1 подходит к замку. Составьте закон распределения числа попыток открыть замок, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Постройте функцию распределения Найдите

10. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика 0, 515. Составьте закон распределения случайной величины X числа мальчиков в семье из 4 детей. Найдите и

11. В среднем по 10 % договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составьте закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислите и

12. Дана функция распределения случайной величины X

Найдите: а) закон распределения случайной величины ; б) и в) постройте график

13. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y

Найдите вероятности, с которыми X и Y принимают значение 3. Составьте закон распределения случайной величины Проверьте, выполняются ли свойства

14. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

а) для первого

б) для второго

а) Составьте закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками;

б) Проверьте свойство математического ожидания суммы случайных величин.

15. Случайная величина X сосредоточена на интервале и задана функцией распределения Найдите вероятность попадания случайной величины X в интервал . Постройте график функции

16. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найдите вероятность того, что случайная величина X примет значения: а) меньше 4; б) не меньше 6; в) не меньше 3; г) Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал .

17. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите:

а) плотность вероятности

б)

в) ;

г) Постройте графики функций и

18. При каком a функция

будет плотностью некоторой случайной величины?

Вычислить: а) ; б) и .

19. Случайная величина X задана функцией распределения

Определите: 1) Плотность 2)

20. Случайная величина X задается функцией распределения

Определите и .

21. Случайная величина X задается функцией распределения

Определите вероятность того, что в результате двух независимых испытаний случайная величина X оба раза попадет в интервал .

22. Случайная величина X задана функцией распределения

Постройте закон распределения случайной величины X.

Вычислите:

ТАБЛИЦЫ

Таблица 1

Закон распределения Пуассона

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
0 1 2 3 4 5 6 7	0,904837 090484 004524 000151 000004	0,818731 163746 016375 001092 000055 000002	0,740818 222245 033337 003334 000250 000015 000001	0,670320 268128 053626 007150 000715 000057 000004	0,606531 303265 075816 012636 001580 000158 000013 000001	0,548812 329287 098786 019757 002964 000356 000036 000003
	0,7	0,8	0,9	1,0	2	3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0,496585 347610 121663 028388 004968 000696 000081 000008 000001	0,449329 359463 143785 038343 007669 001227 000164 000019 000002	0,406570 365913 164661 049398 011115 002001 000300 000039 000004	0,367879 367879 183940 061313 015328 003066 000511 000073 000009 000001	0,135335 270671 270671 180447 090224 036089 012030 003437 000859 000191 000038 000007 000001	0,049787 149361 224042 224042 168031 100819 050409 021604 008102 002701 000810 000221 000055 000013 000003 000001